Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

1. előadás - Bevezetés

Bevezetés

A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

• Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
• Híd deformációja a terhelés függvényében
• Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
• stb.

Rendszerek ábrázolása

Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )

Példa

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x₁, x₂, x₃, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x₁ értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):

• $x_1[k+1]=a_1\cdot x_1[k]+u[k+1]$
• $x_2[k+1]=a_2\cdot x_2[k]+b_1\cdot x_1[k]$
• $x_3[k+1]=a_3\cdot x_3[k]+b_2\cdot x_2[k]$
• $y[k]=b_3\cdot x_3[k]$

(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:

• $u[k]=500$ minden k-ra
• $a_n=0.3$ minden n-re
• $b_n=0.65$ minden n-re

(vegyük észre, hogy $a_k+b_k$ nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

Év (k)	Elsőévesek	Másodévesek	Harmadévesek	Végzők
1	500	0	0	0
2	650	325	0	0
3	695	520	211	0
4	709	608	401	137
5	713	643	515	260
5	714	656	572	335

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Jelek osztályozása

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

Folytonos / Diszkrét idejű jelek

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

• Folytonos idejű, jelölése $x(t)$
  A folytonos idejű jelek minden $t\in \mathbb{ℝ}$ értékben értelmezettek.
• Diszkrét idejű, jelölése $x[t]$
  A diszkrét idejű jelek csak a $t\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ egész számok helyén értelmezettek.

Periodicitás

Folytonos időben

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik $T\in \mathbb{ℝ}$ periódusidő, hogy $x(t)=x(t+T)$ minden t-re.

Diszkrét időben

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik $L\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ periódusidő, hogy $x[k]=x[k+L]$ minden k-ra.

Egyéb osztályozás

Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.

• Determinisztikus: minden értéke megjósolható (nem véletlenszerű)
  ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
• Belépő: $x(t)=0$ minden $t>0$ esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:

• páros: $x(t)=x(-t)$ (az x tengelyre szimmetrikus)
• páratlan: $x(t)=-x(-t)$ (az origóra szimmetrikus)

Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Jelek felírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységimpulzus

$\delta [k]=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ 0& \text{egyébként}\end{array}$

Egységugrás

$ϵ[k]=\{\begin{array}{ll}0& k<0\\ 1& k\ge 0\end{array}$

Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Példa 1

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: $ϵ[k]=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^k\delta [i]$ (szerk.: ezt ellenőrizd le!)

Példa 2

Vegyük a következő jelet:

$x[k]=\{\begin{array}{ll}0& k<0\\ 2\cdot 0.1^k& \text{egyébként}\end{array}$.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

$x[k]=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}2\cdot 0.1^i*\delta [k-i]$.

Itt ugye a $\delta [k-i]$ csak a $k=i$ esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

$x[k]=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}x[i]\cdot \delta [k-i]$.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak $k=i$ esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

$x[k]=x[k]$

DE!

Konvolúció

Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát h[k]-val jelöljük.
Megjegyzés: Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.

Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer $y[k]$:

$y[k]=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}x[i]\cdot h[k-i]$

Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

• egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
• lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
• számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

Folytonos idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységugrás

$ϵ(t)=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ 1& t>0\end{array}$

Megjegyzés: Az $ϵ(0)$-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Egységimpulzus

Írjuk fel az $ϵ(t,T)$ függvényt a következőképpen:

$ϵ(t,T)=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ 1/T& t\in (0,T)\\ 0& t>T\end{array}$

Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ϵ(t,T)dt=1$

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az $ϵ(t,T)$-ben a T tart nullához.