Dinamikai rendszerek az alkalmazások tükrében
A tárgy adatai: TE 929248 5 kreditpont. Fraktálok, káosz és diszkrét dinamikai rendszerek (kedden és csütörtökön 12-2) az időponton közös megállapodással változtathatunk.
A tárgy központi témája a diszkrét dinamikai rendszerek. Kiemelten foglalkozunk olyan nemlineáris rendszerekkel, amelyek pályái fraktálokká alakulnak. A dinamikus rendszerek elméletét az adattömörítés, számítógépes grafika és bioinformatika területén vett példákkal illusztráljuk.
A kurzuson bemutatott példákkal és kitűzött feladatokkal olyan módszereket is mutatunk, amelyekkel mindennapi tapasztalatunkat a matematika nyelvén tudjuk kifejezni és matematikai eljárásokhoz vizuális képet tudunk csatolni.
Tematika
1-2 hét. A fraktálgeometria dinamikus felépítése iterált függvényrendszerekkel (IFS). A káoszjáték. Fraktálok a kísérleti matematika tükrében.
3 hét. A kontraktív leképezések tétele (Banach fixpont tétel) és általánosításai.
4-5 hét. A Jacquin féle számítógépes grafikai eljárás. Az IFS alkalmazása adattömörítő és alakfelismerő eljárásokra. A Jeffrey modell a genetikában. IFS alkalmazása a mesterséges intelligencia területén (swarm intelligence, particle swarm optimization)
6 hét. Hibert tér struktúrák és adatbányászat.
7 hét. Egydimenziós dinamikai rendszerek. A WEB diagram. Lineáris dinamikai rendszerek és kapcsolatuk a lineáris algebrával. Folytonos és diszkrét dinamika kapcsolata ( Poincaré metszetek).
8 hét. Nemlinearitás és káosz. a kaotikus régiók felismerése, felhasználása és stabilizálása. Az Ott-Grebogi-Yorke féle (OGY) stabilizációs eljárás. Információ továbbítása kaotikus dinamikával.
9-10 hét. Szimbolikus dinamika. Entrópiák, mint a komlexitás mértékei.
11-13 hét. Fraktáldimenziók. Nevezetes dinamikai rendszerek attraktorainak a dimenziója és annak jelentése.A pontos mérés határai. Önhasonló halmazok dimenziója. Entrópiaés fraktáldimenzió. Fraktálantennák. A Ben-Jacob-Vicsek féle baktériumkolnia model.
14 hét. A Mandelbrot és Julia halmaz. Poincarétól Mandelbrotig és tovább... (a fraktál és káoszelmélet történeti áttekintése).
Irodalom.
Gary W. Flake: The Computational Beauty of Nature (computer explorations) 2010
Kenneth C. Falconer: Fractal Geometry 2014
Edward R.Scheinerman: Invitation to Dynamical Systems 2012
Jacques M. Bahi and Christoph Guyeux: Discrete Dynanical Systems and Chaotic Machines 2013
Vélemények
Nem potyatárgy. Akit érdekel a matematika, annak jól fog menni, és még élvezetes is lehet. Az anyag nagyrészt matematika, inkább analízis-ízű, nem bsz. Emellett sok a számítógépes szemléltetés. A félév során három házit kell beadni, egy-egy házira mondjuk hat órát kell szánni, attól függ mennyire jössz rá dolgokra. Jól használható jegyzet van, az órai jelenlét nem kötelező, de elég kislétszámú a kurzus, és a tanár úr a személyes kapcsolatot kedveli. Elővizsga szokott lenni. Vizsgán keményen kérdez, frankón tudni kell, mindent, de az anyag alapvetően nem sok és nem nehéz, egy analízis félévnek kb a felére becsülném így fél év távlatából. A tanár úr honlapján fent van a tematika és a jegyzetek, érdemes belenézni. Megjegyezném, hogy az órák tempója gyakran meglehetősen lassú.
A tanár úr honlapja: http://www.math.bme.hu/~mate/
-- FarkasGabor - 2005.05.17.
A tárgy keretein belül - amennyire azt a hallgatók különböző előképzettsége engedi - olyan területek kerültek bemutatásra, amelyek az egyetemi alap matek képzésből kimaradnak (halmazok távolsága, mértékelmélet, dimenziómérés, diszkrét dinamikus rendszerek, kaotikus dinamika, stb.). Ezen ismeretek felhasználásával pedig fraktálok létrehozására és mérésére, azok számítógépes grafikában való alkalmazására, stb. adtunk eljárásokat.
Az előadó (dr. Máté László) kedveli az órai jelenlétet, és az elméleti órakat számítógépes gyakorlati órákkal próbálja fűszerezni. Az órák gyakran meglehetősen lassúak és szájbarágósak.
Félévközi követelmény nincs, bár a kisházikat ajánlott megoldani, mert a tanár úr jórészt ezek elkészítése alapján értékeli a féléves munkát (vizsgába erősen beszámít). A házikat osztályozza, de ez csak irányadó. A vizsga szóbeli, 3 kérdést (feladatot) kaptunk, ami az anyag 3 fő részéből lett kiválasztva. A vizsgán nagyon jól kell tudni mindent, a tanár úr szeret belekérdezni a részletekbe is. Az értékelés a vizsgafelelet és a féléves munka alapján történik. (Megj: a tanár úrra jellemző módon a vizsga során is gyakran elkalandoztunk mindenfelé, így egy ember átlag 1 órát felelt:) )
A tárgyhoz tartozó segédanyagok jók, a honlapon megtalálható egy beszédes jegyzet és az órán vetített diák is rendszeresen felkerülnek. Ugyancsak találhatók itt különféle programok, amelyekkel az elhagzottakat színesíthetjük. Bár ezek egy része nem annyira használható (értsd: régi, vacak, stb.).
Az anyag érdekes, ám a tárgyat csak annak ajánlom, aki szereti a matematikát, és hajlandó kicsit tanulni is 5 kreditért.
A tanár úr honlapja: http://www.math.bme.hu/~mate/
-- NagyBalintBolo - 2010.06.12.
