Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok

← Vissza az előző oldalra – Elektromágneses terek alapjai

Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán kapott feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, a feladattípusokat próbáljuk összegyűjteni. Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletesebb megoldásokkal.

50. Feladat: Két áramjárta vezető

Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól 4 m távolságban. Az egyiken 2 A, a másikon 3 A folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték 1 m-es szakaszára?

Megoldás

Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.

$\oint Hds=\int JdA=I$, ahol a H-t egy kör vonalán integráljuk, aminek a középpontját merőlegesen döfi át a vezeték, csak az egyik áram egy át rajta, a másik pont nem.

$H_{1}2d\pi =I_1\to H_1=\frac{I_1}{2d\pi }$

$F=q(v\times B)=I(l\times B)$, ahol I a konstans áramerősség, l pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m. Derékszöget zárnak be a vektorok, így egyszerű szorzás lesz.

Tudjuk még, hogy $B={\mu }_{0}H$ vákuumban.

Innen a megoldás:

$F_{12}=I_{2}l{B}_1=I_{2}l{\mu }_0{H}_1=\frac{{\mu }_{0}l{I}_1{I}_2}{2d\pi }=\frac{4\pi 10^{-7}\cdot 1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 4\cdot \pi }=3\cdot 10^{-7}N$

Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:

$F=2\cdot 10^{-7}N$

58. Feladat: Toroid tekercs

Hányszorosára változik egy L önindukciós együtthatóval rendelkező I1=2A árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan I2=5A-re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?

Megoldás

Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.

Egy bármilyen tekercs fluxusa az $\mathrm{\Psi }=L*I$ képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: $\frac{{\mathrm{\Psi }}_2}{{\mathrm{\Psi }}_1}=\frac{L*I_2}{L*I_1}=\frac{I_2}{I_1}=2.5$

Egy bármilyen tekercs energiája számolható a $W=\frac{1}{2}*L*I^2$ képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: $\frac{W_2}{W_1}=\frac{\frac{1}{2}*L*I_2^2}{\frac{1}{2}*L*I_1^2}=\frac{I_2^2}{I_1^2}=2.5^2=6.25$

86. Feladat: Ideális távvezeték, számítás lánckarakterisztikával

Adott egy ideális távvezeték, hullámimpedanciája $500\mathrm{\Omega }$, hossza $\frac{\lambda }{8}$. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: 2A illetve 500V. Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején.

Megoldás

$\beta =\frac{2*\pi }{\lambda }$ így $(\beta l)=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{8}=\frac{\pi }{4}$. Miután ez van, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét: $U_1=cos(\beta l)*U_2+j*sin(\beta l)*Z_0*I_2$, és ebbe behelyettesítve megkapjuk a megoldást.

94. Feladat: Zárt keretben indukált áram

Egy $R=5\mathrm{\Omega }$ ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa $\varphi (t)=30*sin(\omega t)mVs$, ahol $\omega =1\frac{krad}{s}$. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján $u_i=\frac{-d\varphi (t)}{dt}=-\omega *30*cos(\omega t)$. Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: $u_i=-30*cos(\omega t)V$. Innen a feszültség effektív értéke $U_{eff}=\frac{30}{\sqrt{2}}V$, az áram effektív értéke pedig $I_{eff}=\frac{U_{eff}}{R}=\frac{6}{\sqrt{2}}A$.

149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény

Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>$E(r)=\frac{U_0}{r}*\overrightarrow{e_r}$ (ahol $\overrightarrow{e_r}$ a radiális irányú egységvektor), <br\>$H(r)=\frac{I_0}{r}*\overrightarrow{e_{\phi }}$ (ahol $\overrightarrow{e_{\phi }}$ a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r₁, a külső vezető belső sugara r₂, a vezetők ideálisak.

Megoldás

ábra, magyarázat a terek irányáról, poynting vektor S=ExH mint teljesítménysűrűség, mivel egyenáram ezért S nem komplex és az 1/2 sem kell bele,

A Poynting-vektor kifejezése: $S=E\times H\Rightarrow S(r)=E(r)*H(r)*\overrightarrow{e_z}$ (ahol $\overrightarrow{e_z}$ a z irányú egységvektor). <br\>Innen a teljesítmény: $P=\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{U_0{I}_0}{r^2}\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r$