„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 242. sor: | 242. sor: | ||
== Wavelet trafók == | == Wavelet trafók == | ||
Megjegyzés a kitevőbe írt törtek (pl: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math>) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni. | |||
<hr> | |||
1) <small>[2015ZH1]</small> Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}</math>, a mexikói kalap wavelet. | 1) <small>[2015ZH1]</small> Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}</math>, a mexikói kalap wavelet. | ||
| 252. sor: | 255. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
a) A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}</math> | a) | ||
A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}</math> | |||
<math>\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}</math> | <math>\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}</math> | ||
| 265. sor: | 269. sor: | ||
<math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)</math> | <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)</math> | ||
<hr> | |||
b) <math>W_{\psi}g_a(b) = <\psi_{a, b}, g> = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx</math> | |||
Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: <math> u = \frac{x-b}{a},~x = au + b,~ dx = a \cdot du</math> | |||
<math>W_{\psi}g_a(b) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 -u^2)e^{-u^2 / 2} (au + b)^2 a \cdot du</math> | |||
Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy <math>(e^{-u^2 / 2})'' = -(1 -u^2)e^{-u^2 / 2}</math> | |||
<math>W_{\psi}g_a(b) = -a \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})'' (au + b)^2 du</math> | |||
Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt: | |||
<math>W_{\psi}g_a(b) = -a \left( \left[(e^{-u^2 / 2})' (au + b)^2\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' 2a \cdot (au + b) du \right) = | |||
2a^2 \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' \cdot (au + b) du = 2a^2 \left( \left[e^{-u^2 / 2} (au + b) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2 / 2} \cdot a du \right) = -2a^3 \sqrt{2\pi}</math> | |||
}} | }} | ||