„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 101. sor: / 101. sor: @@
 <math>\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}</math>
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás:'''
+|szöveg=
+* Számoljuk ki <math>\mathcal{L}'(f)</math>-et!
+<math>\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) + \lim_{x \to 0+}f(x)</math>
+* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
+** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: <math>lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0</math>
+** <math>lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0</math>
+* Tehát:
+<math>0 = 0 + f(0+)</math>
+* Amiből:
+<math>f(0+) = 0</math>
+* Csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}''(f)</math>-re!
+<math>\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) + sf(0+) + f'(0+)</math>
+* Vagyis:
+<math>0 = \frac{1}{5} + 0 + f'(0+)</math>
+* Amiből:
+<math>f'(0+) = -\frac{1}{5}</math>
+* Végül csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}'''(f)</math>-re!
+<math>\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) + s^2f(0+) + sf'(0+) + f''(0+)</math>
+* Itt a határérték picit bonyolultabb:
+<math>0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} + 0 - \frac{s}{5} + f''(0+))</math>
+* Amiből:
+<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>
+}}
 == Fourier diff-egyenlet ==