„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Csala Tamás (vitalap | szerkesztései)
Csala Tamás (vitalap | szerkesztései)
101. sor: 101. sor:


<math>\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}</math>
<math>\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}</math>
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás:'''
|szöveg=
* Számoljuk ki <math>\mathcal{L}'(f)</math>-et!
<math>\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) + \lim_{x \to 0+}f(x)</math>
* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: <math>lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0</math>
** <math>lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0</math>
* Tehát:
<math>0 = 0 + f(0+)</math>
* Amiből:
<math>f(0+) = 0</math>
* Csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}''(f)</math>-re!
<math>\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) + sf(0+) + f'(0+)</math>
* Vagyis:
<math>0 = \frac{1}{5} + 0 + f'(0+)</math>
* Amiből:
<math>f'(0+) = -\frac{1}{5}</math>
* Végül csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}'''(f)</math>-re!
<math>\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) + s^2f(0+) + sf'(0+) + f''(0+)</math>
* Itt a határérték picit bonyolultabb:
<math>0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} + 0 - \frac{s}{5} + f''(0+))</math>
* Amiből:
<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>
}}


== Fourier diff-egyenlet ==
== Fourier diff-egyenlet ==

A lap 2016. május 25., 10:11-kori változata

Integrál trafók témakör

Laplace trafó diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

x˙(t)=2y(t)x(t)+1

y˙(t)=3y(t)2x(t)

x(0)=0,y(0)=1

Megoldás:
  • Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját (X:=(x),Y:=(y)):

sXx(0)=2YX+1s

sYy(0)=3Y2X

  • Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

(s+1)X+(2)Y=1s

(2)X+(s3)Y=1

  • Mátrixos alakra hozva:

[s+122s3][xy]=[1s1]

  • Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

X=det([1s21s3])det([s+122s3])=s3s+2(s+1)(s3)+4=3(s1)s(s22s+1)=3(s1)s(s1)2=3s(s1)

  • Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

As+Bs1=A(s1)+Bss(s1)=3s(s1)

  • Együtthatókat összehasonlítva:

A+B=0,A=3

  • Ahonnan:

A=3,B=3

  • Vagyis X(s)=3s+3s1
  • Tehát a táblázat alapján x(t)=3+3et

2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

x¨(t)=2x(t)3y(t)

y¨(t)=x(t)2y(t)

x(0)=x˙(0)=0,y(0)=0,y˙(0)=1

Megoldás:
  • Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:

s2Xsx(0)x˙(0)=2X3Y

s2Ysy(0)y˙(0)=X2Y

  • Átrendezve és mátrixos alakra hozva:

[s2231s2+2][xy]=[01]

  • Megoldás X-re:

X=det([031s2+2])det([s2231s2+2])=3(s22)(s2+2)+3=3s41=3(s21)(s2+1)

  • Parc törtek:

As21+Bs2+1=(A+B)s2+(AB)s41=3s41

  • Ahonnan:

A=32,B=32

  • Inverz Laplace után: x(t)=32sht+32sint

3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a y+xy=x differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Megoldás:

(xy)=((y))=(sYy(0))=(sY+sY)=YsY

s2Ysy(0)y(0)+YsY=X

Laplace trafó szabályok alkalmazása

1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

limx0+f(x)=?,limx0+f(x)=?,ha(f)=s23s+15s44s3+8

Megoldás:
  • Számoljuk ki (f)-et!

(f)=s(f)+limx0+f(x)

  • Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
    • Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: lims(f)=0
    • limss(f)=limss(s23s+1)5s44s3+8=0
  • Tehát:

0=0+f(0+)

  • Amiből:

f(0+)=0

  • Csináljuk meg ugyanezt (f)-re!

(f)=s2(f)+sf(0+)+f(0+)

  • Vagyis:

0=15+0+f(0+)

  • Amiből:

f(0+)=15

  • Végül csináljuk meg ugyanezt (f)-re!

(f)=s3(f)+s2f(0+)+sf(0+)+f(0+)

  • Itt a határérték picit bonyolultabb:

0=lims(s5+0s5+f(0+))

  • Amiből:
lims(f(0+))=f(0+)=0

Fourier diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! y(x)4y(x)=8


2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a y+xy=x differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) [2015ZH1] Számítsuk ki az f(x)=3xexH(x) Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy (exH(x))=12π11+iy

Disztribúciók

1) [2015ZH1] Adjuk meg δ és δ lineáris kombinációjaként az e3x2δ(x) disztribúciót!


2) [2016ZH1] Számítsuk ki a T=ex2 reguláris disztribúcuó és a δ disztribúció konvolúciójának hatását a ψ(x)=x2 függvényre: (T*δ)x2=?


3) [2016ZH1] Mi az (x3)f=0 disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)


4) [2016ZH1] Adjuk meg az e3xδ(x2) disztribúciót a δ eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!


5) [2016PZH] Legyen u az f(x)=x3 által generált reguláris disztribúció, ψ(x)=ex2. Számítsuk ki (σ2τ3δ*u)ψ-t!

Wavelet trafók

1) [2015ZH1] Legyen ψ(x)=(1x2)ex22, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen f(x)=e|x|. (Wψfa(b))=?

b) Legyen g(x)=x2. Tudjuk, hogy Rex22dx=2π. Wψga(b)=?


2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: ψn(x)=H(x)xnn!xn1ex

a) Mutassuk meg, hogy ψ(x)=(xnn!ex), ha x0

b) Mutassuk meg, hogy Rψn(x)dx=0

c) Cψn=?


3) [2016PZH] Legyen ψ(x)=xe|x|,f(x)=ex22. Adjuk meg f ψ által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

2ut2=42ux2

u(0,t)=u(3,t)=0,u(x,0)=sin4π3x,ut(x,0)=2sinπ3x


2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

2ut2=92ux2

u(x,0)=12cos3π5x,ux(0,t)=ux(5,t)=0

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, h=12 felosztás mellett adjuk meg az u1,2 értékét, ha

2ut2=2ux2

u(0,t)=3,u(3,t)=0,u(x,0)=3x,ut(x,0)=0


2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha x[0,5],t0, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz u(2,118)?

2ut2=92ux2

u(x,0)=12cos3π5x,ux(0,t)=ux(5,t)=0

Jordan normál-forma

1) [2016ZH2] Adjuk meg az x=Bx+b egyenlet megoldását, ha B=16[312042011],b=[101].

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) [2015ZH2] Keressük a 1+coshx2=x egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?


2) [2016ZH2] Tekintsük az ex2=x egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

3) [2016PZH] Az arsh2x=x egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

Lagrange multiplikátor módszer

1) [2015ZH2] Keressük meg az f(x,y,z)=xy2z3(x,y,z>0) szélsőértékét az x+2y+3z=6 feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!


2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a 3x2+y2+z2xy függvénynek az x2+y2+z2=1 feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)


3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a x2+y2+z22xy2xz függvénynek az x2+y2+z2=1 feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

Variáció számítás

1) [2015ZH2] Keressük meg az I(y) funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

I(y)=12y'2+x32xydx

y(1)=16,y(2)=53


2) [2015ZH2] Keressük meg az I(y) funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

I(y)=12y'3+x32xydx

y(1)=16,y(2)=53