„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 3. sor: | 3. sor: | ||
== Elmélet == | == Elmélet == | ||
1) Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt? | 1) [2016ZH1] Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt? | ||
2) Írjuk fel a skálázó egyenletet! | 2) [2016ZH1] Írjuk fel a skálázó egyenletet! | ||
== Laplace trafó diff-egyenlet == | == Laplace trafó diff-egyenlet == | ||
1) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | 1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | ||
<math>\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1</math> | <math>\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1</math> | ||
| 16. sor: | 16. sor: | ||
<math>x(0) = 0,~y(0) = 1</math> | <math>x(0) = 0,~y(0) = 1</math> | ||
2) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | 2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | ||
<math>\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)</math> | <math>\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)</math> | ||
| 23. sor: | 23. sor: | ||
<math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math> | <math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math> | ||
3) Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)! | 3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)! | ||
== Fourier diff-egyenlet == | == Fourier diff-egyenlet == | ||
1) Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! | 1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! | ||
<math>y'(x) - 4y(x) = 8</math> | <math>y'(x) - 4y(x) = 8</math> | ||
2) Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)! | 2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)! | ||
== Fourier trafó szabályok alkalmazása == | == Fourier trafó szabályok alkalmazása == | ||
1) Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math> | 1) [2015ZH1] Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math> | ||
== Disztribúciók == | == Disztribúciók == | ||
1) Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót! | 1) [2015ZH1] Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót! | ||
2) Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math> | 2) [2016ZH1] Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math> | ||
3) Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?) | 3) [2016ZH1] Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?) | ||
4) Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként! | 4) [2016ZH1] Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként! | ||
== Wavelet trafók == | == Wavelet trafók == | ||
1) Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}</math>, a mexikói kalap wavelet. | 1) [2015ZH1] Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}</math>, a mexikói kalap wavelet. | ||
a) Legyen <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>F(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math> | a) Legyen <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>F(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math> | ||
| 54. sor: | 54. sor: | ||
b) Legyen <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>. <math>W_{\psi}g_a(b) = ?</math> | b) Legyen <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>. <math>W_{\psi}g_a(b) = ?</math> | ||
2) A Poisson wavelet a következő: | 2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: | ||
<math>\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}</math> | <math>\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}</math> | ||