Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Elmélet

1) Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt?

2) Írjuk fel a skálázó egyenletet!

Laplace-trafó diff-egyenlet rendszer

1) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha $\dot{x}(t)=2y(t)-x(t)+1$

$\dot{y}(t)=3y(t)-2x(t)$

$x(0)=0,y(0)=1$

2) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha $\ddot{x}(t)=2x(t)-3y(t)$

$\ddot{y}(t)=x(t)-2y(t)$

$x(0)=\dot{x}(0)=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$

Fourier diff-egyenlet

1) Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! $y^{\prime }(x)-4y(x)=8$

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) Számítsuk ki az $f(x)=3x{e}^{-x}H(x)$ Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy $F(e^{-x}H(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{1+iy}$

Disztribúciók

1) Adjuk meg $\delta$ és ${\delta }^{\prime }$ lineáris kombinációjaként az $e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x)$ disztribúciót!

Wavelet trafók

1) Legyen $\psi (x)=(1-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen $f(x)=e^{-|x|}$. $F(W_{\psi }{f}_a(b))=?$

b) Legyen $g(x)=x^2$. Tudjuk, hogy $\underset{R}{\int }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$. $W_{\psi }{g}_a(b)=?$

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) Oldjuk meg Fourier módszerrel!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,u(x,0)=sin\frac{4\pi }{3}x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=2\sin \frac{\pi }{3}x$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) Véges differenciák segítségével, $h=\frac{1}{2}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=3,u(3,t)=0,u(x,0)=3-x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) Keressük a $\sqrt{1+coshx}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

Lagrange multiplikátor módszer

1) Keressük meg az $f(x,y,z)=x{y}^2{z}^3(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $x+2y+3z=6$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

Variáció számítás

1) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^2+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$

2) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^3+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$