„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 159. sor: / 159. sor: @@
 === 19. Feladat: Gömbkondenzátor elektródáira kapcsolható maximális feszültség ===
-Egy gömbkondenzátor belső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{1}=4 \; mm</math> ,külső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{2}=6 \; mm</math>, a dielektrikum relatív dielektromos állandója <math>\varepsilon_r = 4.5</math>.
+Egy gömbkondenzátor belső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{1}=4 \; mm</math>, külső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{2}=6 \; mm</math>, a dielektrikum relatív dielektromos állandója <math>\varepsilon_r = 4.5</math>.
-Legfeljebb mekkora feszültséget kapcsolhatunk a kondenzátorra,ha a térerősség a dielektrikumban nem haladhatja meg az <math>E=500\; {kV \over m}</math> értéket.
+Legfeljebb mekkora feszültséget kapcsolhatunk a kondenzátorra, ha a térerősség a dielektrikumban nem haladhatja meg az <math>E_{max}=500\; {kV \over m}</math> értéket.
 {{Rejtett
@@ 167. sor: / 167. sor: @@
 |szöveg=
-Legyen <math>Q</math> töltés a belső, <math>R_\mathrm{1}</math> sugarú gömbön. A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömb elektromos terének nagyságát a középponttól mért <math>R_\mathrm{1}</math> távolság függvényében:
+Legyen a belső, <math>R_\mathrm{1}</math> sugarú gömb töltése <math>Q</math>.
+A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömbkondenzátor két elektródája közötti elektromos tér nagyságát, a középponttól mért <math>r</math> távolság függvényében:
 <math>
-    E_\mathrm{(r)} ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} {1 \over r^2}
+    E(r) ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot {1 \over r^2}
 </math>
-Ennek ismeretében kiszámíthatjuk a potenciál különbséget a belső és a külső gömb között:
-<math> U_\mathrm{1,2}= -\int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{E_\mathrm{(r)}} \; \mathrm{dr}
+A fenti összefüggésből is látszik, hogy a dielektrikumban a legnagyobb térerősség a belső gömb felületén lesz, így ebből kifejezhető a <math>Q</math> töltés nagysága:
-= - {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{1 \over r^2} \; \mathrm{dr}
-= {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right)
+<math>
+   E_{max} ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot {1 \over {R_1}^2} \longrightarrow Q =
+   E_{max} \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot {R_1}^2
 </math>
-A kapacitás pedig:
+A két elektróda közötti potenciálkülönbség:
 <math>
-C={Q \over U_\mathrm{1,2}}= {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \over \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right)} = 6\;pF
+  U_\mathrm{1,2}= -\int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{E(r)} \; \mathrm{dr}
+  = - {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{1 \over r^2} \; \mathrm{dr}
+  = {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right)
 </math>
--Idáig gyakorlati anyagból, innetől lehet benne hiba, előzőben is lehet, de kisebb eséllyel.
-Tehát a kapacitást ki tudjuk számolni, a legnagyobb térerősség a vezetők felületén van. Ha az első egyenletbe behelyettesítjük a maximális térerősséget továbbá az <math>R_\mathrm{1}</math> távolságot.
+A fenti összefüggéseket felhasználva meghatározható a két elektródára kapcsolható maximális feszültség:
 <math>
-   E_\mathrm{max} ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} {1 \over (R_\mathrm{1})^2}\longrightarrow Q=4\;nC
+  U_{max} = {E_{max} \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot {R_1}^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right) =
-</math>
+  E_{max} \cdot {R_1 \over R_2} \cdot \left( R_2 - R_1 \right) =
+\cdot 10^3 \cdot {4 \cdot 10^{-3} \over 6 \cdot 10^{-3}} \cdot \left( 6 - 4 \right) \cdot 10^{-3} = 666 \; V
+</math>
-Megkapjuk Q értékét és bhelyettesítünk a következő képletbe:
-<math>
- U_\mathrm{1,2}={Q\over C} = 666 \;V \longleftarrow </math> Na igen itt jön a szokásos helyek száma egy terek vizsgára :D
-Megjegyzés: Persze lehetne a Q értékét egyből behelyettesíteni a 2. egyenletbe.
+Na igen innét jön a szokásos helyek száma egy terek vizsgára :D
 }}