Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

2003/04 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

$X:$ élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}x\ge 0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}x\ge 0$

$P(x\ge 2)=0.2$

$e^{-\lambda 2}=0.2$

$-\lambda 2=ln0.2$

$\lambda =-\frac{ln0.2}{2}\approx 0.8$

$m=\frac{1}{\lambda }$

$1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2}$

$e^{-0.8x}=\frac{1}{2}$

$-0.8x=ln\frac{1}{2}$

$x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86$

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

$\phi [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

$X=\sin \phi$

$F(x)=p(X<x)$

$P(\sin \phi <x)=P(\phi <\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi }{2}}{\pi }$

$f(x)=F(x{)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi }$

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a) Kérdés

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

$X:RND{1}^2$

$Y:RND{2}^3$

$f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}0<x<1$

$f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}0<y<1$

$f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}0<x<10<y<1$

$P(X>Y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

a) Kérdés egyszerűbben

$P(RND{1}^2>RND{2}^3)=P(RND1>RND{2}^{\frac{3}{2}})=$

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

$y^{\frac{3}{2}}=x$

vagyis a

$y=x^{\frac{2}{3}}$

görbe alatti terület számítására.

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}{]}_0^1=\frac{3}{5}$

b) Kérdés

$X:f1(x)=2x(0<x<1)$

$Y:f2(y)=2y(0<y<1)$

$Y:f(x,y)=4xy(0<x<1)(0<y<1)$

$P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)=$

$=\underset{A}{\int }\int 4xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x^{\frac{2}{3}}}{\int }}4xy\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

2005/06 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

Megoldások

$X:RND1$

$Y:RND2$

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges:

$X<Y-X<1-YhaY>X$

$Y<X-Y<1-XhaX>Y$

• Az első eset - $Y>X$

$P[(X<Y-X)\cap (Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap (Y<\frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A)$

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - $X>Y$

A szimmetria miatt az első esetben számított terület $x=y$ tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: $P(...)=2*ter(A)$

2. Feladat:

Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

Megoldások

$X:\sqrt[3]{RND}$

$P(A<\sqrt[3]{RND}<B)=P(A^3<RND<B^3)=B^3-A^3=\underset{A}{\overset{B}{\int }}3x^2\mathrm{d}x$

$f(x)=3x^{2}0<x<1$

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}3x^2\mathrm{d}x=[x^3{]}_0^{x}0<x<1$

• Várható érték = első momentum

$E(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x*3x^2\mathrm{d}x=\frac{3}{4}$

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

$F(x)=P(X<x)=P(\sqrt[3]{RND}<x)=P(RND<x^3)=x^{3}0<x<1$

$f(x)=F^{\prime }(x)=3x^{2}0<x<1$

3. Feladat:

Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

Megoldások

$X=$ ahány balkezes

Binomiális eloszlás

$p=0,4$

$n=2400$

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

$m=p*n=960$

$\sigma =\sqrt{n*p*(1-p)}=24$

$P(0.39<\frac{x}{2400}<0.41)=P(936<x<984)=$

$=P(\frac{936-960}{24}<\frac{x-960}{24}<\frac{984-960}{24})=$

$=\varphi (1)-\varphi (-1)=68\mathrm{\%}$