„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés
| 456. sor: | 456. sor: | ||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
Az Ampere-féle gerjesztési törvényt írjuk fel egy olyan zárt r sugarú, L körvonalra, amely által kifeszített A körlap merőleges a vezetékre és a vezeték tengelye pont a közepén döfi át. | |||
<math>\oint_L \vec{H} \; \mathrm{d} \vec{l} = \int_A \vec{J} \; \mathrm{d} \vec{s}</math> | |||
Szimmetria okokból a mágneses térerősségvektorok az L görbe minden pontjában érintő irányúak lesznek, így a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik minden esetben. Az egyenlet jobb oldala miatt viszont két esetre kell bontanunk a vizsgálódást: | |||
'''1. Eset:''' Ha a vezetéken kívül vagyunk <math>(r>R)</math>, akkor az áramsűrűség felületintegrálja a vezeték teljes áramával egyenlő. | |||
<math>H(r) \cdot 2r\pi = I \longrightarrow \vec{H}(r) = {I \over 2r\pi} \cdot \vec{e}_{\varphi}</math> | |||
'''2. Eset:''' Ha a vezetéken belül vagyunk <math>(r \leq R)</math>, akkor a teljes <math>I</math> áramnak csak a felületarányos része lesz az áramsűrűség integráljának eredménye. | |||
<math>H(r) \cdot 2r\pi = J \cdot r^2 \pi </math> | |||
<math>H(r) \cdot 2r\pi = {I \over R^2 \pi} \cdot r^2 \pi \longrightarrow \vec{H}(r) = | |||
{I \over 2R^2\pi} \cdot r \cdot \vec{e}_{\varphi}</math> | |||
A vezeték egységnyi hosszában tárolt mágneses energia meghatározására az ismert összefüggés: | |||
<math>W_m={1 \over 2} \int_V \vec{H} \cdot \vec{B} \; \mathrm{d} V </math> | |||
Mivel homogén közegben <math>\vec{B}=\mu \vec{H}</math>, azaz a vektorok egy irányba mutatnak minden pontban, így a skaláris szorzatuk megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával. Azonban a mágneses térerősségvektor nagysága függ a sugártól. Célszerűen áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe és ott végezzük el az integrálást: | |||
<math>W_m={1 \over 2} \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \mu H^2(r) \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r = | |||
{1 \over 2} \mu \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \left({I \over 2R^2\pi} \cdot r \right)^2 \;\mathrm{d}z \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r = | |||
{\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^2 \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r = | |||
</math> | |||
<math>={\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot \int_0^R r^2 \; \mathrm{d} r = | |||
{\mu I^2 \over 4 R^4 \pi} \cdot \left[ {r^3 \over 3} \right]_0^R= | |||
{\mu I^2 \over 12 R^4 \pi} \cdot R^3 = | |||
{\mu I^2 \over 12 R \pi} | |||
</math> | |||
}} | }} | ||