„Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 40. sor: / 40. sor: @@
 ===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:===
-<math>a, \; a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math>
+<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
-<math>b, \; \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>
+<math>b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>
 {{Rejtett
@@ 48. sor: / 48. sor: @@
 |szöveg=
-====(a)====
-Először alkalmazzuk az [[OverLord|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:
-<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>
+'''a, Feladat:'''
+<math> a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
+\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
+\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
+\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
 A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
-<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>
+<math>\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} </math>
 Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
-<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>
+<math>\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} </math>
 Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
 <math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>
--- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
-====(b) ====
+'''b, Feladat:'''
-Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
-Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
-<math> \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow  \underline{2} </math>
+A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:
-Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:
-<math> \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>
+<math> b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
+Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:
+Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.
+Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.
--- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
+<math>2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2</math>
-Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.
+Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.
-Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:
+<math>\sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}</math>
-<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
-Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^
+Tudjuk, hogy:
+<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1</math>
+<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1</math>
--- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
+Így a rendőrelv miatt:
+<math>\lim_{n\to\infty} {b_n}=1</math>
 }}