„Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
40. sor: 40. sor:
===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:===
===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:===


<math>a, \; a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math>
<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>


<math>b, \; \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>
<math>b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>


{{Rejtett
{{Rejtett
48. sor: 48. sor:
|szöveg=
|szöveg=


====(a)====
Először alkalmazzuk az [[OverLord|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:


<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>
'''a, Feladat:'''
 
 
<math> a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
 
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>
<math>\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} </math>


Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!


<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>
<math>\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} </math>
 
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>


-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.


====(b) ====
'''b, Feladat:'''
Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
 
Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
 
<math> \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow  \underline{2} </math>
A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:
Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:
 
<math> \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>
<math> b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
 
Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:
 
Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.
 
Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.


-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
<math>2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2</math>


Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.
Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.


Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:
<math>\sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}</math>


<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>


Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^
Tudjuk, hogy:


<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1</math>


<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1</math>


-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
Így a rendőrelv miatt:


<math>\lim_{n\to\infty} {b_n}=1</math>


}}
}}

A lap 2014. január 17., 23:53-kori változata

Sablon:Noautonum


1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Oldja meg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^ 2} egyenletet.

Megoldás

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^2 }

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a+bi)^2 = (a-bi)^2 }

Zárójelek felbontása után:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 }

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ab = -ab }

Ez akkor lehetséges, ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a = 0 \vee b = 0 } és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,b \in \mathbb{R}} , az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}}

Megoldás

a, Feladat:


Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}}

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} }

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} }

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}}


b, Feladat:


A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} }

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2}

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}}


Tudjuk, hogy:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1}


Így a rendőrelv miatt:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} {b_n}=1}

4. Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0, x=0} .

a, Hol folytonos és hol deriválható Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)} ?

b, Hol folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f'(x)} ?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,b \neq 0} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ab = ac} , akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b = c}

b, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim {a_n} = \lim{b_n} = 0} akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1}

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mathbb{R}} -en, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty}

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx}

Megoldás

(a) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx }

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1 = (A+B)x^2 + Cx + A}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A=1}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C=0}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}} Így már könnyű integrálni: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C }

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} } Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}}

-- OverLord - 2008.01.14.
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.06.07&oldid=175538”