„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés
| 12. sor: | 12. sor: | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
Először is vegyük fel a koaxiális kábel elektrosztatikai modelljét (hengerkondenzátor) és számoljuk ki a hosszegységre eső kapacitását. Ezt úgy tehetjük meg, hogy előbb kiszámoljuk a potenciálkülönséget az ér és a köpeny között, majd kifejezzük a kapacitást | Először is vegyük fel a koaxiális kábel elektrosztatikai modelljét (hengerkondenzátor) és számoljuk ki a hosszegységre eső kapacitását. Ezt úgy tehetjük meg, hogy előbb kiszámoljuk a potenciálkülönséget az ér és a köpeny között, majd kifejezzük a kapacitást: | ||
<math> | <math> | ||
U = {q \over {2\pi \varepsilon } | U =- \int_{r_2}^{r_1} \vec{E}(r) d \vec{r} = - \int_{r_2}^{r_1} {q \over 2 \pi \varepsilon } * {1 \over r} dr = -{q \over 2 \pi \varepsilon }* \left[ ln(r) \right]_{r_2}^{r_1} = {q \over {2\pi \varepsilon }}\ln {{{r_2}} \over {{r_1}}} | ||
</math> | </math> | ||
| 29. sor: | 29. sor: | ||
<math> | <math> | ||
C \buildrel \Delta \over = {Q \over U} = {{ql} \over U} \to C' = {C \over l} = {{{{ql} \over U}} \over l} = {q \over U} = | C \buildrel \Delta \over = {Q \over U} = {{ql} \over U} \to C' = {C \over l} = {{{{ql} \over U}} \over l} = {q \over U} = { U {2 \pi \varepsilon \over ln{r_2 \over r_1}}} * {1 \over U } = {{2\pi \varepsilon } \over {\ln {{{r_2}} \over {{r_1}}}}} | ||
</math> | </math> | ||
Majd használjuk az elektrosztatika | (Persze aki tudja fejből a koaxiális kábel hosszegységre eső kapacitását, az kezdheti kapásból innét is a feladatot) | ||
Majd használjuk az elektrosztatika illetve az áramlási tér közötti betűcserés analógiákat: | |||
<math> | <math> | ||
| 42. sor: | 44. sor: | ||
</math> | </math> | ||
Amit áthelyettesítve megkapjuk a hosszegységre eső konduktanciát | Amit áthelyettesítve megkapjuk a hosszegységre eső konduktanciát: | ||
<math> | <math> | ||
| 48. sor: | 50. sor: | ||
</math> | </math> | ||
Most kifejezzük a hosszegységre eső konduktanciát a szivárgási | Most kifejezzük a hosszegységre eső konduktanciát a szivárgási ellenállásból és a vezeték hosszából. Ha ez megvan akkor csak át kell rendezni a fajlagos vezetőképességre az egyenletet: | ||
<math> | <math> | ||
G = {1 \over R} | G = G'l = {1 \over R} \to G' = {1 \over R}{1 \over l} | ||
</math> | </math> | ||
<math> | <math> | ||
G' | G' = {{2\pi \sigma } \over {\ln {{{r_2}} \over {{r_1}}}}} = {1 \over R}{1 \over l} \to \sigma = {{\ln {{{r_2}} \over {{r_1}}}} \over {2\pi }}{1 \over R}{1 \over l} = {ln {6 \over 2} \over 2 \pi} * {1 \over 4 * 10^6} * {1 \over 200} \approx 218.6 {pS \over m} | ||
</math> | </math> | ||
}} | }} | ||