„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

233. sor:

sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k )

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.

~~'''~~Nevezetes fuggvenyek T-sorai~~:'''~~

=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===

xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1

ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek

242. sor:

sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek

cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek

~~'''~~Lagrange-hiba becsles~~:'''~~

=== Lagrange-hiba becsles ===

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.

xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)

258. sor:

hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is!

tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

=== Konvergencia tartomany (KT) ===

Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.

|an|1/n vagy | (an + 1) / an |

ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.

az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.

tehat KT = (x - R, x + R)

vegpontokban kulon meg kell nezni:

ha divergens --> (

ha konvergens --> [

kell.

Ha x2 van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesitunk)

a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.

a <= u=x2 <= b

ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

== Fourier-sorok ==

Megoldas lepesei:

* fel kell rajzolni a fuggvenyt

* ha a fuggveny paros --> bk = 0

* ha a fuggveny paratlan --> ak = 0, a0 = 0

* fi(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )

* ak = 1 / pi * ʃpipi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* bk = 1 / pi * ʃpipi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...

* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot

* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz

* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.

* ki kell integralni a fuggvenyt

* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be

* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

@@ 233. sor: / 233. sor: @@
 sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( f<sup>(k)</sup>(x0) / k! ) * (x - x0)<sup>k</sup> )<br />
 tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.<br />
-'''Nevezetes fuggvenyek T-sorai:'''<br />
+=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===<br />
 x<sup>m</sup> / (1 - x) = sum<sup>n</sup><sub>k=m</sub>( x<sup>k</sup> ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1<br />
 e<sup>x</sup> = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( x<sup>k</sup> / k! ) --> KT: x eleme R-nek<br />
@@ 242. sor: / 242. sor: @@
 sinh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x<sup>2 * k + 1</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
 cosh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k)! ) * x<sup>2 * k</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
-'''Lagrange-hiba becsles:'''<br />
+=== Lagrange-hiba becsles ===<br />
 Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.<br />
 xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)<br />
@@ 258. sor: / 258. sor: @@
 hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - pi)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
 tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1<br />
+<br />
+=== Konvergencia tartomany (KT) ===
+Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.<br />
+|a<sub>n</sub>|<sup>1/n</sup> vagy | (a<sub>n</sub> + 1) / a<sub>n</sub> |<br />
+ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.<br />
+az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.<br />
+tehat KT = (x - R, x + R)<br />
+vegpontokban kulon meg kell nezni: <br />
+ha divergens --> (<br />
+ha konvergens --> [ <br />
+kell.<br />
+Ha x<sup>2</sup> van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x<sup>2</sup> (helyettesitunk)<br />
+a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.<br />
+a <= u=x<sup>2</sup> <= b<br />
+ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )<br />
+<br />
+== Fourier-sorok ==
+Megoldas lepesei:<br />
+* fel kell rajzolni a fuggvenyt<br />
+* ha a fuggveny paros --> b<sub>k</sub> = 0<br />
+* ha a fuggveny paratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0<br />
+* fi(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> )<br />
+* a<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...<br />
+* b<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...<br />
+* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot<br />
+* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz<br />
+* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.<br />
+* ki kell integralni a fuggvenyt<br />
+* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be<br />
+* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2<br />
 <br />