1. sor:
1. sor:
{{Vissza|Matematika A3 villamosmérnököknek}}
{{Vissza|Matematika A3 villamosmérnököknek}}
_NOTOC_
''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.
''Dr. Andai Attila'' által összeállított feladatsor.
50. sor:
52. sor:
</math>
</math>
}}
}}
===4. feladat===
==4. feladat==
Oldja meg az
Oldja meg az
<math>
<math>
107. sor:
109. sor:
<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>
<math>y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5</math>
}}
}}
===5. feladat===
==5. feladat==
A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az <math>f(z) = \bar z z^2</math> függvény ? ''(15p)''
{{Rejtett
{{Rejtett
113. sor:
115. sor:
|szöveg=TODO
|szöveg=TODO
}}
}}
===6. feladat===
==6. feladat==
Oldja meg az
Oldja meg az
<math>
<math>
A lap 2013. augusztus 27., 13:11-kori változata
_NOTOC_
Dr. Andai Attila által összeállított feladatsor.
1. feladat
Oldja meg a komplex számok körében a sinh z = i egyenletet. (15p)
kinyit Megoldás
sinh z = i
Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\j” függvény): {\displaystyle \sinh z = \sinh{x} \cos{y} + \j \cosh{c} \sin{y} = \j}
Ebből következik:
sinh x cos y = 0 , ami x = 0 vagy y = π 2 + k 2 π számpárokra teljesül
cosh x sin y = 1 , ami szintén a fenti számpárokra teljesül
tehát
Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\j” függvény): {\displaystyle z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}}
.
2. feladat
Mutassa meg, hogy az u ( x , y ) = e − y sin x függvény harmonikus , és keresse meg azt a v ( x , y ) harmonikus társat, amelynél az f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) függvényre f ( 0 ) = 0 teljesül. (15p)
3. feladat
Tekintsük a
V = { ( x , y , z ) ∈ ℝ 3 | y ⩾ 0 , z ⩾ 0 , x 2 + y 2 + z 2 ⩽ 9 } térrészt és az f = ( x , y , z ) = x y 2 z függvényt. Számolja ki a ∫ V f térfogati integrált (20p)
kinyit Megoldás
A
V = { ( x , y , z ) ∈ ℝ 3 | y ⩾ 0 , z ⩾ 0 , x 2 + y 2 + z 2 ⩽ 9 } térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva:
V = { ( r , φ , ϑ ) ∈ ℝ 3 | 0 ⩽ r ⩽ 3 , 0 ⩽ φ ⩽ π , 0 ⩽ ϑ ⩽ π 2 }
Az f függvény gömbi koordinátákkal:
f ( x , y , z ) = x y 2 z = ( r sin ϑ cos φ ) ( r sin ϑ sin φ ) 2 ( r cos ϑ )
ezzel a térrészen vett integrál:
Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \begin{gathered} \int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\ = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }} {3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\ \end{gathered} }
4. feladat
Oldja meg az
y ″ ( x ) + 3 y ′ ( x ) + 2 y ( x ) = 1 + e − x
differenciálegyenletet. (15p)
kinyit Megoldás
Először a tekintsük a homogén egyenletet:
y ″ + 3 y ′ + 2 y = 0
A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:
m 2 + 3 m + 2 = 0
( m + 1 ) ( m + 2 ) = 0 → m 1 = − 1 ; m 2 = − 2
Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:
y ( x ) = c 1 e − x + c 2 e − 2 x
Tekintsük most az inhomogén egyenletet.
Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag,
a megoldást a következő formában kell keresnünk:
y ( x ) = A x e − x + B e − x + C e − 2 x + D
A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása.
Fejezzük ki y'-t és y-t:
y ′ = − A x e − x + A e − x − 2 C e − 2 x
Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}}
Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!
[ A x e − x − 2 A e − x + 4 C e − 2 x ] + 3 [ − A x e − x + A e − x − 2 * C e − 2 x ] + 2 [ A x e − x + B e − x + C e − 2 x + D ] = 1 + e − x
összevonva az azonos kitevőjű tagokat:
2 D + A e − x = 1 + e − x
d/dx:
− A e − x = − e − x → A = 1
x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:
2 D = 1 → D = 1 / 2
Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
y ( x ) = x e − x + c 1 e − x + c 2 e − 2 x + 0 . 5
5. feladat
A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az f ( z ) = z ¯ z 2 függvény ? (15p)
6. feladat
Oldja meg az
Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. }
differenciálegyenlet-rendszert az x 1 ( 0 ) = 1 , x 2 ( 0 ) = 0 kezdeti feltételek mellett. (20p)
kinyit Megoldás
Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. }
Az első egyenletetből x 2 :
x 2 = x 1 − x ˙ 1 , amiből x ˙ 2 = x ˙ 1 − x ¨ 1
így a második egyenlet kifejezhető
x 1 -nek és deriváltjainak segítségével.