Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.05.30.

2013.06.06. vizsga megoldásai

1. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

2. Feladat (Van megoldás)

Adja meg a 2-3 fa definícióját! Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!

Megoldás

Adja meg a 2-3 fa definícióját!

• Elemeket csak a levelekben tárolunk.
• Az elemek balról jobbra növekvő sorrendben állnak.
• Minden belső csúcsnak 2, vagy 3 fia lehet, se több, se kevesebb. (Kivéve, ha csak 1 elemet tárolunk a fában, mert akkor a gyökérnek csak 1 fia van.)
• A fa levelei a gyökértől egyenlő távolságra vannak (vagyis a levelek 1 szinten vannak).
• A belső csúcsokban mutatókat (M) és 1, vagy 2 elemet (S) tárolunk.
  • Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy elememet tárol. Fájl:2 3 2.png
    • A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
    • A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1).
  • Ha a csúcsnak 3 fia van, akkor 3 mutatót, és 2 elemet tárol. Fájl:2 3 3.png
    • A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
    • A középső részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1), de kisebbek, mint S2.
    • A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S2 (vagyis az 1. elem S2).

Fájl:2 3 pelda.PNG

Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log_2n+1\leq m \leq log_3n+1} , ahol Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m} a fa szintszáma.

Bizonyítás:

• Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle log_2n+1\leq m}
  • Minden belső csúcsnak legalább 2 fia van, így az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i.} szinten legalább Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{i-1}} csúcs van, tehát: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2^{m-1} \geq n \Rightarrow m-1 \geq log_2n \Rightarrow m \geq log_2n+1}
• Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m\leq log_3n+1}
  • Minden belső csúcsnak maximum 3 fia van, így az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i.} szinten maximum Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 3^{i-1}} csúcs van, tehát: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 3^{m-1} \leq n \Rightarrow m-1 \leq log_3n \Rightarrow m \leq log_3n+1}

3. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

4. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

5. Feladat (Van megoldás)

Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)} és tudjuk azt is, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(1)=T(2)=T(3)=1} . Bizonyítsa be, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n)=O(n^2)} .

Megoldás

Van olyan Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c > 0} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n_0} , hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n>n_0} esetén Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n)=T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots } Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16} \right )^i\right)}

Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} } , ahol Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}} , vagyis Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} < 2 ,} ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n \geq 1} (A lényeg, hogy felülről becsüljük!)

Tehát Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)}

6. Feladat

Egy ország n kis szigetből áll. Szeretnénk néhány hajójáratot indítani a szigetek között úgy, hogy bárhonnan bárhova el lehessen jutni (esetleg átszállással). Ehhez ismerjük bármely két szigetre, hogy mennyibe kerül egy évben a hajójárat fenntartása közöttük, illetve azt, hogy mekkora az itt várható éves bevétel. Adjon algoritmust, ami ezen adatok ismeretében Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n^2)} időben meghatározza, hogy hol indítsuk el a hajójáratokat, ha a lehető legnagyobb várható éves hasznot (vagy a lehető legkisebb veszteséget) szeretnénk elérni. (Egy szigeten egy hajóállomás van csak).

Megoldás

TODO

7. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

8. Feladat

TODO

Megoldás

TODO