„Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.” változatai közötti eltérés

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ==2013.04.24. PZH megoldásai==
-===1. Feladat===
+===1. Feladat (Van megoldás)===
-TODO
+Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy <math> T(n) = T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)</math> és tudjuk azt is, hogy <math> T(1)=T(2)=T(3)=1</math>. Bizonyítsa be, hogy <math> T(n)=O(n^2)</math>.
 {{Rejtett
 |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
 |szöveg=
-TODO
+<math> T(n) = T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2) = T\left(\left \lfloor  \frac{n}{16} \right \rfloor\right) + O\left(\frac{n^2}{4} \right) + O(n^2)=...=1 + O(n^2)*\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{4}  \right )^i\right)</math><br>
+Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:<br>
+<math>\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} </math> ahol <math> k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = 0.25</math>, vagyis <math>\frac{1-0.25^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-0.25}</math><br>
+<math> \lim_{n \to \infty}\frac{1-0.25^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-0.25} = \frac{1}{0.75}</math><br>
+Tehát <math> T(n)=...=1+\frac{1}{0.75}O(n^2)=O(n^2)</math>
 }}