„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
a →Jelek osztályozása: formatting |
→Jelek felírása: formatting |
||
| 87. sor: | 87. sor: | ||
'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | ||
'''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
====== Példa 1 ====== | ====== Példa 1 ====== | ||
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | ||
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | <math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | ||
(szerk.: ezt ellenőrizd le!) | ''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ||
====== Példa 2 ====== | ====== Példa 2 ====== | ||
Vegyük a következő jelet: | Vegyük a következő jelet: | ||
<math> | <math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>. | ||
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | ||
| 107. sor: | 107. sor: | ||
<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>. | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>. | ||
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk | Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint: | ||
<math>x[k]=x[k]</math> | |||
DE! | |||
===== Konvolúció ===== | ===== Konvolúció ===== | ||
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. | Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Ezt így nem mondtuk ki általánosan előadáson, hogy minden esetben igaz, de használjuk a tárgy keretein belül. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük. | ||
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | ||
<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | <math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | ||
Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat. | |||
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor: | |||
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok), | |||
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt, | |||
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére. | |||
==== Folytonos idejű jelek esetén ==== | ==== Folytonos idejű jelek esetén ==== | ||
| 120. sor: | 131. sor: | ||
====== Egységugrás ====== | ====== Egységugrás ====== | ||
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | ||
'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | '''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | ||
====== Egységimpulzus ====== | ====== Egységimpulzus ====== | ||
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | ||
<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math> | ||
Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math> | |||
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | ||
A lap 2017. szeptember 4., 16:58-kori változata
Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
1. előadás - Bevezetés
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
(szerk.: Amíg nincs LaTeX a vikwiki-n, s PDF-ben olvasod, addig a kép itt: https://vik.wiki/images/7/79/Jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_%C3%A1br%C3%A1zol%C3%A1sa.png)
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] }
![{\displaystyle x_{2}[k+1]=a_{2}\cdot x_{2}[k]+b_{1}\cdot x_{1}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae651a4f35a7cc24513748f86eb77a74016f317)
![{\displaystyle x_{3}[k+1]=a_{3}\cdot x_{3}[k]+b_{2}\cdot x_{2}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be7c08f5a144e596f85ffc71cef63d3bf45f9ef)
![{\displaystyle y[k]=b_{3}\cdot x_{3}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c3a2899aa2a56eb910f5561ba25dadf887a985)
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- minden k-ra
- minden n-re
- minden n-re
![{\displaystyle u[k]=500}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900edbaf46fbfc6ad389ef1b6d22645f7614a255)
(vegyük észre, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_k + b_k} nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
| Félév (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
| 3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
| 4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
| 5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
| 5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány félév múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű, jelölése Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t)}
- Diszkrét idejű, jelölése Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[t]}
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: minden értéke megjósolható (nem véletlenszerű)
ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz - Belépő: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = 0} minden Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t>0} esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = x(-t)} (az x tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = -x(-t)} (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}}
Egységugrás
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}}
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]} (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}} .
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]} .
Itt ugye a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta[k-i]} csak a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]} .
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]=x[k]}
DE!
Konvolúció
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Ezt így nem mondtuk ki általánosan előadáson, hogy minden esetben igaz, de használjuk a tárgy keretein belül. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát h[k]-val jelöljük.
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k]} válasza általánosságban:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]}
Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
- egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
- lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
- számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}}
Megjegyzés: Az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(0)} -t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t, T)} függvényt a következőképpen:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}}
Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1}
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t, T)} -ben a T tart nullához.
