„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
a →Jelek osztályozása: formatting |
→Jelek felírása: formatting |
||
| 87. sor: | 87. sor: | ||
'''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | ||
'''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
====== Példa 1 ====== | ====== Példa 1 ====== | ||
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | ||
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | <math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | ||
(szerk.: ezt ellenőrizd le!) | ''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ||
====== Példa 2 ====== | ====== Példa 2 ====== | ||
Vegyük a következő jelet: | Vegyük a következő jelet: | ||
<math> | <math>x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>. | ||
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | ||
| 107. sor: | 107. sor: | ||
<math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>. | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>. | ||
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk | Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint: | ||
<math>x[k]=x[k]</math> | |||
DE! | |||
===== Konvolúció ===== | ===== Konvolúció ===== | ||
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. | Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Ezt így nem mondtuk ki általánosan előadáson, hogy minden esetben igaz, de használjuk a tárgy keretein belül. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük. | ||
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | ||
<math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | <math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | ||
Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat. | |||
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor: | |||
* egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok), | |||
* lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt, | |||
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére. | |||
==== Folytonos idejű jelek esetén ==== | ==== Folytonos idejű jelek esetén ==== | ||
| 120. sor: | 131. sor: | ||
====== Egységugrás ====== | ====== Egységugrás ====== | ||
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | ||
'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | '''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | ||
====== Egységimpulzus ====== | ====== Egységimpulzus ====== | ||
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | ||
<math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t > T \end{cases}</math> | ||
Ez 0-tól T-ig ''1/T'' értékű négyzet. <math>\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1</math> | |||
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | ||