„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 863. sor: / 863. sor: @@
 Az f függvény, amire alkalmazni kell az EL-t, az az integrál belseje: <math>f(x, y, y') = y'^2 + x^3 - 2xy</math>. Ha lenne feltétel is, akkor ugyanúgy be kéne vezetni egy <math>F = f - \lambda g</math> függvényt, és arra kéne megoldani az EL-t.
-<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = 2x - \frac{d}{d x}2y' = 2x - 2y'' = 0</math>
+<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = -2x - \frac{d}{d x}2y' = -2x - 2y'' = 0</math>
-<math>y''(x) = x</math>
+<math>y''(x) = -x</math>
-<math>y'(x) = \frac{x^2}{2} + c</math>
+<math>y'(x) = -\frac{x^2}{2} + c</math>
-<math>y(x) = \frac{x^3}{6} + cx + d</math>
+<math>y(x) = -\frac{x^3}{6} + cx + d</math>
 A kezdeti felételeket felhasználva:
-<math>y(-1) = -\frac{1}{6} - c + d = \frac{1}{6}</math>
+<math>y(-1) = \frac{1}{6} - c + d = \frac{1}{6}</math>
-<math>d = \frac{1}{3} + c</math>
+<math>c = d</math>
-<math>y(2) = \frac{8}{6} + 2c + d = \frac{5}{3} + 3c = \frac{5}{3}</math>
+<math>y(2) = -\frac{8}{6} + 2c + d = -\frac{4}{3} + 3c = \frac{5}{3}</math>
-Tehát <math>c = 0,~d = \frac{1}{3}</math>, azaz a megoldás:
+<math>3c = \frac{9}{3} = 3</math>
-<math>y(x) = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{3}</math>.
+Tehát <math>c = 1,~d = 1</math>, azaz a megoldás:
+<math>y(x) = -\frac{x^3}{6} + x + 1</math>.
 }}
@@ 894. sor: / 896. sor: @@
 |szöveg=
-<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = 2x - \frac{d}{d x}3y'^2 = 2x - 6y'y'' = 0</math>
+<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = -2x - \frac{d}{d x}3y'^2 = -2x - 6y'y'' = 0</math>
 Vezessünk be egy <math>p = y' = \frac{dy}{dx}, ~p' = y'' = \frac{dp}{dx}</math> változót, és erre oldjuk meg a differenciálegyenletet (ha az egyenletből az x hiányozna, akkor y szerinti deriválásra kéne áttérni).
-<math>x = 3 p \frac{dp}{dx}</math>
+<math>-x = 3 p \frac{dp}{dx}</math>
-<math>3 p~dp = x~dx</math>
+<math>3 p~dp = -x~dx</math>
-<math>\frac{3}{2} p^2 = \frac{x^2}{2} + c</math>
+<math>\frac{3}{2} p^2 = -\frac{x^2}{2} + c</math>
 Írjuk vissza az y'-t p helyére
-<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^2}{3} + c_2</math>
+<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -\frac{x^2}{3} + c_2</math>
-<math>dy^2 = \left(\frac{x^2}{3} + c_2\right)dx^2</math>
+<math>dy^2 = \left(-\frac{x^2}{3} + c_2\right)dx^2</math>
-<math>dy = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 + c_3}\right) dx</math>
+<math>dy = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{-x^2 + c_3}\right) dx</math>
-Ez egy sokkal nehezebb integrál, mint ami ZH-kon elő szokott fordulni (valószínűleg elszámoltam valamit).
+Ez egy sokkal nehezebb integrál, mint ami ZH-kon elő szokott fordulni.
-Amúgy megoldható <math>x = tan(\theta)</math> és <math>dx = sec^2(\theta) d\theta</math> helyettesítéssel, és ez lesz a eredménye:
+Amúgy elvileg megoldható <math>x = \sqrt{c_3} \sin u</math> és <math>dx = \sqrt{c_3} \cos u\,du</math> helyettesítéssel meg néhány trigonometrikus összefüggés felhasználásával, és ez lesz a eredménye:
-<math>y = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} (x \sqrt{x^2 + c_3}+c_3 log(\sqrt{x^2 + c_3}+x)) + d</math>
+<math>y = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}} \left(x \sqrt{c_3 - x^2} + c_3 \arctan(\frac{x}{\sqrt{c_3 - x^2}}) \right) + d</math>
-A két kezdeti feltételt felhasználva ki lehet számolni a két konstans értékét (<math>c_3, d</math>). De ez megint sokkal bonyolultabb, mint ami ZH-n elő szokott fordulni.
+A két kezdeti feltételt felhasználva ki lehet számolni a két konstans értékét (<math>c_3, d</math>). De analitikusan ez még a Mathematica-nak sem sikerült. Persze lehet próbálkozni numerikus módszerekkel :p
-Újabb jele annak, hogy valamit elszámoltam.
+Valami nagyon el van b*va ezzel a feladattal.
 https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/236x/55/08/4b/55084be16a6b92e2cdb97951f371f4df.jpg
 }}