„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 419. sor: / 419. sor: @@
 <math>u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0</math>
-<!--
 {{Rejtett
 |mutatott=Megoldás:
@@ 453. sor: / 452. sor: @@
 Most oldjuk meg a T-re vonatkozó diff-egyenletet
-<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math>
+<math>\frac{\dot{T}(t)}{T(t)} = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math>
-<math>\lambda^2 = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math>
+<math>\lambda = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math>
-<math>\lambda = \pm i \frac{3}{5}k\pi</math>
+<math>T_k(t) = d_k e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t}</math>
-<math>T_k(t) = a_k \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + b_k \sin{\frac{3}{5}k\pi t}</math>
 Írjuk fel <math>U_k(x, t)</math>-t!
-<math>U_k(x, t) = A_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + B_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \sin{\frac{3}{5}k\pi t} </math>
+<math>U_k(x, t) = D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} </math>
 Majd pedig az ebből generált sort:
-<math>U(x, t) = \sum_{k=0}^\infty A_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + B_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \sin{\frac{3}{5}k\pi t} </math>
+<math>U(x, t) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cdot e^{-( \frac{3}{5}k\pi)^2 t} </math>
-<math>U(x, 0) = \sum_{k=0}^\infty A_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} = 12\cos\frac{3\pi}{5}x</math>
+<math>U(x, 0) = \sum_{k=0}^\infty D_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} = 12\cos\frac{3\pi}{5}x</math>
 <math>A_3 = 12</math>, minden más <math>A_i</math> pedig nulla.
@@ 475. sor: / 472. sor: @@
 Vagyis:
-<math>U(x, t) = 12 \cos{\frac{3}{5}\pi x} \cos{\frac{9}{5}\pi t} + \sum_{k=0}^\infty B_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \sin{\frac{3}{5}k\pi t}, ~B_k</math> tetszőleges.
+<math>U(x, t) = 12 \cos{\frac{3}{5}\pi x} \cdot e^{-( \frac{9}{5}\pi)^2 t}</math>.
-}} -->
+}}
 == Parcdiff egyenletek (véges differenciák) ==