„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 448. sor: | 448. sor: | ||
1) <small>[2016ZH2]</small> Adjuk meg az <math>x = Bx + b</math> egyenlet megoldását, ha <math>B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.</math> | 1) <small>[2016ZH2]</small> Adjuk meg az <math>x = Bx + b</math> egyenlet megoldását, ha <math>B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.</math> | ||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
* Először meg kell határozni B sajátértékeit. Ezt a <math>det\left(B - \lambda I\right) = 0</math> egyenlet megoldásaiként kapjuk meg. Most az <math>\frac{1}{6}</math>-os szorzó miatt inkább számoljuk azzal, hogy <math>6 \cdot det\left(B - \lambda I\right) = det\left(6B - 6\lambda I\right) = det\left(6B - \lambda' I\right) = 0</math> | |||
<math>\begin{vmatrix}3 - \lambda' & 1 & -2 \\ 0 & 4 - \lambda' & -2 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda'\end{vmatrix} = 0</math> | |||
* Fejtsük ki a determinánst az első oszlop szerint: | |||
<math>(3 - \lambda')((4 - \lambda')(1 - \lambda') + 2) = (3 - \lambda')(\lambda'^2 - 5\lambda + 6) = (3 - \lambda')(\lambda' - 3)(\lambda' - 2) = - (\lambda' - 3)^2(\lambda' - 2)</math> | |||
* Most határozzunk meg minden sajátértékhez egy sajátvektort (itt az <math>\frac{1}{6}</math>-os szorzó nem számít, a sajátvektor csak konstans szorzó erejéig egyértelmű) | |||
* Először a <math>\lambda' = 3</math>-hoz keresünk két sajátvektort: | |||
<math>\begin{bmatrix}3 - 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 - 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 - 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}</math> | |||
* Mindhárom egyenletünk megegyezünk, az y legyen mondjuk 1, ekkor a z-nek -2-nek kell lennie, az x tetszőleges. Az x=0 és az x=1 két lineáris független sajátvektort ad. | |||
<math>s_{-3, 1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix},~s_{-3, 2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{bmatrix}</math> | |||
* Határozzuk meg a <math>\lambda' = 2</math>-höz tartozó sajátvektort is: | |||
<math>\begin{bmatrix}3 - 2 & 1 & -2 \\ 0 & 4 - 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 - 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \underline{0}</math> | |||
<math>y = z, ~x = -y+2z = z</math> | |||
Tehát egy sajátvektor például: | |||
<math>s_{-2} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}</math> | |||
}} | |||
== Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása == | == Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása == | ||