Laboratórium 1 - 4. Mérés: Frekvenciatartománybeli jelanalízis

← Vissza az előző oldalra – Laboratórium 1

A mérésről

A beugró nem volt gáz fel kellett írni ${\mathfrak {F}}\{f(t-T)\}$ , ${\mathfrak {F}}\{f(t)*g(t)\}$ , ${\mathfrak {F}}\{{\frac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}\}$ Fourier-transzformáltakat, illetve plusz feladatként egy négyszögimpulzus deriváltját kellett lerajzolni. A mérésvezetők abszolút segítőkészek voltak, a mérés végén mérőcsoportonként személyesen átnézték a jegyzőkönyvet, ahol hiba volt ott kérdezgettek.

A méréshez segítség

1. Oszcilloszkóp FFT módja

• [Math] >> [FFT] gombokkal
• Periódikus jel felharmónikusainak mérésénél a számított érték (többek között) azért fog eltérni a mért értéktől, mert fehér zaj van jelen, illetve a generátor sem tökéletes jelalakot ad ki.
• Periódikus jel felharmónikusainak számítása komplex Fourier-sor együtthatókból (csak mert ez pl nincs benne a Fodor: Hálózatok és Rendszerek c. jegyzet 211 oldala környékén, és sztem hasznos) , azaz ${\bar {U}}_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{u(t)e^{-jk\omega t}dt}$ -ból, ahol

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \bar U_k = \bar U_{ - k}^ * = \frac{{U_{Ak} + jU_{Bk} }} {2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} U_{Ak} = \bar U_k + \bar U_{ - k} \hfill \\ U_{Bk} = j(\bar U_k - \bar U_{ - k} ) \hfill \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow u(t) = \frac{{\bar U_0 }} {2} + \sum\limits_{k > 0} {\left( {U_{Ak} \cos (nt) + U_{Bk} \sin (n\omega t)} \right)} } .

A felharmonikusok sora $U_{k}=\left|{{\bar {U}}_{k}}\right|={\frac {\sqrt {U_{Ak}^{2}+U_{Bk}^{2}}}{2}}$ .

Adott jelek felharmonikusai:

U amplitudójú	$U_{A}k$	$U_{B}k$
négyszög	$0$	$2\cdot U{\frac {1-(-1)^{k}}{k\pi }}$ , ahol k páratlan
háromszög	$0$	$U{\frac {8\cdot (-1)^{\frac {k-1}{2}}}{k^{2}\cdot 2\pi ^{2}}}$ , ahol k páratlan
fűrész	$0$	$-{\frac {1}{k\pi }}$

2. Periódikus jel spektruma

• Függvénygenerátoron: [Square] >> [DutyCycle] (Az impulzus kitöltési tényezőjét mutatja)
• Fourier-transzofmált

$\left|{U(j\omega )}\right|=\left|{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{u(t)e^{-j\omega t}dt}}\right|=\left|{\int \limits _{0}^{\tau }{e^{-j\omega t}dt}}\right|=\left|{\frac {e^{j\omega \tau }-e^{-j\omega \tau }}{j\omega }}\right|=2\tau {\frac {\sin \omega \tau }{\omega \tau }}=2\tau sinc\omega \tau$

• A kitöltési tényező, azaz ${\frac {\tau }{T}}$ növelésével közelíthetünk a periódikus négyszögjel vonalas spekrumához.

3. Szűrő vizsgálata oszcilloszkóppal

• Alul-/felüláteresztő szűrő határfrekvenciája (ahol $-3dB$, azaz ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$-szeres az erősítése): $f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$
• [Mode/Coulping] >> [DC]/[AC] esetén DC/AC-csatolt az oszcilloszkóp, így a bemenete modellezhető egy elsőfokú alul-/felüláteresztő szűrővel.

4. Átviteli karakerisztika digitális multiméter

• érdemes $0,1f_{c}<f<10f_{c}$ frekvenciákon mérni (logaritmikus [1,2,5] léptékben)
• a DMM [AC V] gombja után dB kijelzésre a [Shift] >> [Null/dB] gomb, majd aluláteresztő szűrő esetén kis frekvencián nullázni a [Null/dB] gombbal (ezzel beállítottuk a dB skála referenciaszintjét)

5. széles sávú gerjesztés

• A multisinus egy olyan szinuszos függvény, aminek a frekvenciája lineárisan nő (adott értéktől adott értékig), tehát ez egy szélessávú jel. [A $sinc(\Omega t)$ függvény is szélessávú [Arb] >> [Sinc], ennek Fourier-transzformáltja egy ${\frac {\pi }{\Omega }}\epsilon (\omega +\Omega )-epsilon(\omega \Omega )$ "frekvencia-ablak", amit egy szűrő "összenyom"]. A függvénygenerátor [Sine] jelalakjának frekvenciasöprésének tartományát [Sweep] módban állíthatjuk be. (másik vélemény: nekünk nem fogadták el a sweepet, hanem Arg módban kellett használni a a függvénygenerátort) _
• Ismét a referenciaszint (az oszcilloszkóp bal oldalán lévő legmagasabb érték) ${\sqrt {2}}$ -edéhez tartozó frekvenciát kell keresni aluláteresztő szűrő esetén (felül.á.sz. esetén a jobboldalon van a referenciaszint).
• A legnagyobb hibát a leolvasás okozhatja, emellett az átvitel hibája sem tökéletes, ahogy a függvénygenerátor sem az.

6. szinuszjel "torzítása" oszcilloszkópon

• Ha az oszcilloszkóp nincsen túlvezérelve, azaz a függőleges érzékenység akkora, hogy a jel a képernyőből nem lóg ki, akkor a szinuszjel alapharmónikus frekvenciájánál jól látható a kiemelkedés, ettől eltérő frekvencián pedig a hozzá képest elhanyagolható zaj. Ha a szinuszjelet torzítjuk (pusztán a V/div csökkentésével, azaz nem a jelet torzítjuk, hanem a kijelzést), a jel egyre kezd hasonlítani a négyszögjelhez. Így a spektrumja is kénytelen lesz a négyszögjel spektrumához közelíteni, hiszen az oszcilloszkóp az általa kijelzett jelből számítja FFT segítségével a spektrumot. A spektrum az 1/f -es vonalas spektrumhoz tart.

Házihoz segítség

• FONTOS!!! Bármilyen szimmetrikus jelet DC komponens nélkül kell ábrázolni és számolni vele, emiatt az itt található kidolgozás sem jó ebből a szempontból. (azaz pl a négyszögjelnél [1,0] értékek helyett [1,-1] kell, és amúgy a matlab kód komplett copypaste-elése sem ajánlott)
• Kidolgozott házi feladat
• DFT-s házihoz

Beugró kérdések kidolgozása

• Ellenőrző kérdések kidolgozása