Laboratórium 1 - 4. Mérés: Frekvenciatartománybeli jelanalízis
Tartalomjegyzék
A mérésről
A beugró nem volt gáz fel kellett írni [math] \mathfrak{F}\{f(t-T)\}[/math] , [math]\mathfrak{F}\{f(t)*g(t)\}[/math] , [math] \mathfrak{F}\{\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\} [/math] Fourier-transzformáltakat, illetve plusz feladatként egy négyszögimpulzus deriváltját kellett lerajzolni. A mérésvezetők abszolút segítőkészek voltak, a mérés végén mérőcsoportonként személyesen átnézték a jegyzőkönyvet, ahol hiba volt ott kérdezgettek.
A méréshez segítség
1. Oszcilloszkóp FFT módja
- [Math] >> [FFT] gombokkal
- Periódikus jel felharmónikusainak mérésénél a számított érték (többek között) azért fog eltérni a mért értéktől, mert fehér zaj van jelen, illetve a generátor sem tökéletes jelalakot ad ki.
- Periódikus jel felharmónikusainak számítása komplex Fourier-sor együtthatókból (csak mert ez pl nincs benne a Fodor: Hálózatok és Rendszerek c. jegyzet 211 oldala környékén, és sztem hasznos) , azaz [math] \bar U_k = \frac{1} {{T }}\int\limits_{ 0 }^T {u(t)e^{ - jk \omega t} dt} [/math] -ból, ahol
[math] \bar U_k = \bar U_{ - k}^ * = \frac{{U_{Ak} + jU_{Bk} }}
{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} U_{Ak} = \bar U_k + \bar U_{ - k} \hfill \\ U_{Bk} = j(\bar U_k - \bar U_{ - k} ) \hfill \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow u(t) = \frac{{\bar U_0 }} {2} + \sum\limits_{k \gt 0} {\left( {U_{Ak} \cos (nt) + U_{Bk} \sin (n\omega t)} \right)} [/math] .
A felharmonikusok sora [math] U_k = \left| {\bar U_{k} } \right| = \frac{\sqrt{U_{Ak}^2 + U_{Bk}^2 }}{2} [/math] .
Adott jelek felharmonikusai:
| U amplitudójú | [math] U_Ak [/math] | [math] U_Bk [/math] |
|---|---|---|
| négyszög | [math] 0 [/math] | [math] 2\cdot U\frac{1 - (-1)^{k} }{k \pi} [/math] , ahol k páratlan |
| háromszög | [math] 0 [/math] | [math] U\frac{8\cdot (-1)^{\frac{k-1}{2}} }{k^2 \cdot \pi^2} [/math] , ahol k páratlan |
| fűrész | [math] 0 [/math] | [math] -\frac{1}{k\pi} [/math] |
2. Periódikus jel spektruma
- Függvénygenerátoron: [Square] >> [DutyCycle] (Az impulzus kitöltési tényezőjét mutatja)
- Fourier-transzofmált
[math] \left| {U(j\omega )} \right| = \left| {\int\limits_{ - \infty }^\infty {u(t)e^{ - j\omega t} dt} } \right| = \left| {\int\limits_0^\tau {e^{ - j\omega t} dt} } \right| = \left| {\frac{{e^{j\omega \tau } - e^{ - j\omega \tau } }}{{j\omega }}} \right| = 2\tau \frac{{\sin \omega \tau}}{{\omega \tau }} = 2 \tau sinc \omega \tau [/math]
- A kitöltési tényező, azaz [math] \frac{\tau}T[/math] növelésével közelíthetünk a periódikus négyszögjel vonalas spekrumához.
3. Szűrő vizsgálata oszcilloszkóppal
- Alul-/felüláteresztő szűrő határfrekvenciája (ahol [math]-3dB[/math], azaz [math]\frac{1}{\sqrt{2}}[/math]-szeres az erősítése): [math] f_c = \frac{1}{2 \pi RC}[/math]
- [Mode/Coulping] >> [DC]/[AC] esetén DC/AC-csatolt az oszcilloszkóp, így a bemenete modellezhető egy elsőfokú alul-/felüláteresztő szűrővel.
4. Átviteli karakerisztika digitális multiméter
- érdemes [math]0,1 f_c \lt f \lt 10 f_c [/math] frekvenciákon mérni (logaritmikus [1,2,5] léptékben)
- a DMM [AC V] gombja után dB kijelzésre a [Shift] >> [Null/dB] gomb, majd aluláteresztő szűrő esetén kis frekvencián nullázni a [Null/dB] gombbal (ezzel beállítottuk a dB skála referenciaszintjét)
5. széles sávú gerjesztés
- A multisinus egy olyan szinuszos függvény, aminek a frekvenciája lineárisan nő (adott értéktől adott értékig), tehát ez egy szélessávú jel. [A [math] sinc (\Omega t) [/math] függvény is szélessávú [Arb] >> [Sinc], ennek Fourier-transzformáltja egy [math] \frac{\pi}{\Omega}\epsilon(\omega + \Omega) - epsilon(\omega \Omega) [/math] "frekvencia-ablak", amit egy szűrő "összenyom"]. A függvénygenerátor [Sine] jelalakjának frekvenciasöprésének tartományát [Sweep] módban állíthatjuk be. (másik vélemény: nekünk nem fogadták el a sweepet, hanem Arg módban kellett használni a a függvénygenerátort) _
- Ismét a referenciaszint (az oszcilloszkóp bal oldalán lévő legmagasabb érték) [math] \sqrt 2 [/math] -edéhez tartozó frekvenciát kell keresni aluláteresztő szűrő esetén (felül.á.sz. esetén a jobboldalon van a referenciaszint).
- A legnagyobb hibát a leolvasás okozhatja, emellett az átvitel hibája sem tökéletes, ahogy a függvénygenerátor sem az.
6. szinuszjel "torzítása" oszcilloszkópon
- Ha az oszcilloszkóp nincsen túlvezérelve, azaz a függőleges érzékenység akkora, hogy a jel a képernyőből nem lóg ki, akkor a szinuszjel alapharmónikus frekvenciájánál jól látható a kiemelkedés, ettől eltérő frekvencián pedig a hozzá képest elhanyagolható zaj. Ha a szinuszjelet torzítjuk (pusztán a V/div csökkentésével, azaz nem a jelet torzítjuk, hanem a kijelzést), a jel egyre kezd hasonlítani a négyszögjelhez. Így a spektrumja is kénytelen lesz a négyszögjel spektrumához közelíteni, hiszen az oszcilloszkóp az általa kijelzett jelből számítja FFT segítségével a spektrumot. A spektrum az 1/f -es vonalas spektrumhoz tart.
Házihoz segítség
- FONTOS!!! Bármilyen szimmetrikus jelet DC komponens nélkül kell ábrázolni és számolni vele, emiatt az itt található kidolgozás sem jó ebből a szempontból. (azaz pl a négyszögjelnél [1,0] értékek helyett [1,-1] kell, és amúgy matlab kódok komplett copypaste-elése nem ajánlott) ÉS pl. fűrészfog jelnél a függvény az 1, -1 pontokban nem értelmezett!
- Kidolgozott házi feladat
- DFT-s házihoz
2015 ősz tapasztalatai:
- a tárgyhonlapon lévő DFT programmal érdemes számolni
- A jeleket [-1;1] értékek között kell felvenni, nem pedig [0;1] közt
- ( [-0.5;0.5] is megfelel és hasonlók, lényeg hogy ne legyen benne offset )
- Ábrákon ne hiányozzon a tengelyek elnevezése, negatív frekvenciatartomány lehetőleg ne legyen
- Elfogadott házi : Feladat Megoldás
Beugró kérdések kidolgozása
Beugróban az elemi jelek spektrumának felrajzolásánál nem elegendő csak a burkológörbe!
