Laboratórium 2 - 8. Mérés ellenőrző kérdései

← Vissza az előző oldalra – Laboratórium 2

← Vissza az előző oldalra – Laboratórium 2 - 8. Mérés: Rendszer-identifikáció és szabályozás

1. Milyen identifikációs rendszermodelleket ismer?

AR, ARX, IV, ARMAX stb. Ezek a modellek a MATLAB System Identification (röviden IDENT) toolboxa segítségével identifikálhatók. ARX modell a klasszikus LS (least squares) becsléssel is identifikálható. A módszerek érzékenyek a jel és zaj korreláltságára, amelyen segédváltozók (IV) alkalmazásával lehet javítani. Az ARMAX modell már általánosabb zajstruktúrát alkalmaz, de identifikációja numerikusan bonyolultabb módszert igényel, nevezetesen a kvázi Newton-módszert. Lásd elméleti alapok.

2. Miért van szükség identifikációra?

Az identifikáció célja dinamikus modell nyerése az ismeretlen rendszerről, a szabályozástechnikában a szabályozott szakaszról. Dinamikus modell hiányában csak kísérletezéssel tudnánk egyszerű szabályozók paraméterbeállítását megkeresni. A dinamikus modell ismerete lehetővé teszi elméletileg megalapozott szabályozások tervezését, amely minimálissá teszi a reális folyamaton való kísérletezést. A modell jó, ha azonos bemenő jel mellett a kimenetén hasonlóan válaszol, mint az ismeretlen rendszer. A modellel szemben pótlólagos elvárásaink is lehetnek, mint például az, hogy az identifikációval kapott diszkrétidejű modellnek legyen folytonosidejű megfelelője. Ez a negatív valós pólusokkal áll kapcsolatban a z-tartományban.

3. Mit értünk állapot-visszacsatolás alatt?

Állapot-visszacsatolás alatt azt értjük, hogy a szabályozó kimenő jelét (a beavatkozó jelet) az állapotokból állítjuk elő. Lineáris állapot-visszacsatolás esetén folytonos időben $u(t)=-K\cdot x(t)$, diszkrét időben pedig $u(iT)=-K\cdot x(it)$, vagy röviden $u_{i}=-K\cdot x_{i}$, ahol T a mintavételi idő. Egyváltozós (SISO) rendszer esetén K sorvektor.

4. Mi lesz állapot-visszacsatolás esetén a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete?

Folytonos időben:

• A szakasz állapotegyenlete: ${\dot {x}}=Ax+Bu$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: ${\dot {x}}=(A-BK)\cdot x$
• A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: $\varphi _{c}(s)=det\;(sI-(A-BK))$

Diszkrét időben:

• A szakasz állapotegyenlete: $x_{i+1}=\Phi x_{i}+\Gamma u_{i}$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: $x_{i+1}=(\Phi -\Gamma K)\cdot x_{i}$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: $\varphi _{c}(z)=det\;(zI-(\Phi -\Gamma K))$

A pólusáthelyezési feladatban előírjuk a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét (ami ekvivalens a zárt rendszer pólusainak, azaz a velük megegyező sajátértékeknek az előírásával), és keressük az ehhez szükséges állapot-visszacsatolást. Vegyük észre az algebrai hasonlóságot a folytonosidejű és diszkrétidejű feladat esetén.

5. Mik a fő problémák az egyszerű u=-Kx állapot-visszacsatolás esetén tipikus irányítási rendszerekben?

Az egyik probléma az, hogy az állapotvektornak az összes komponense általában nem mérhető, például SISO esetben csak a kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába. A másik probléma, hogy az egyszerű állapot-visszacsatolás nem veszi figyelembe az alapjelet (más néven referencia jelet), ezért pótlólagos figyelembevételéről külön kell gondoskodni, lásd $N_{x},N_{u}$

6. Mi a domináns póluspár?

A szabályozási kör $s_{1,2}=-\sigma _{e}\pm j\omega _{e}$ póluspárját dominánsnak nevezzük, ha a zárt szabályozási kör dinamikus minőségi jellemzőit lényegében $s_{1,2}$ határozza meg. Ennek feltétele, hogy a többi stabil pólusra teljesüljön $\left|Re\left\{s_{i}\right\}\right|>3\sigma _{e}$, mert ekkor a többi pólus okozta tranziens már lecseng az első maximumig terjedő időpont $(T_{m})$, a túllövés $(\Delta v)$ és a beállási idő $(T_{2\%})$ számításakor. Ebben az esetben jó közelítéssel:

$T_{m}={\pi \over \omega _{e}}$

$\Delta v=\exp \left({-\pi \sigma _{e} \over \omega _{e}}\right)=\exp \left({-\pi \xi \over {\sqrt {1-\xi ^{2}}}}\right)$

$T_{2\%}={\ln(50) \over \sigma _{e}}\approx {5 \over \sigma _{e}}$

7. Mi a kapcsolat a kéttárolós lengő tag csillapítása és csillapítatlan sajátfrekvenciája valamint a hozzátartozó pólusok között?

A kéttárolós lengő tag átviteli függvénye:

$W(s)={\omega _{0}^{2} \over s^{2}+2\xi \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}$

Pólusai: $s_{1,2}=-\sigma _{e}\pm j\omega _{e}=-\xi \omega _{0}\pm j\omega _{0}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}$

Csillapítás: $0<\xi <1$

Csillapítatlan sajátfrekvencia: $\omega _{0}={1 \over T}$

Aszimptotikus amplitúdó menete az $\omega _{0}$ helyen törésfrekvenciával rendelkezik, rezonanciahelye és az amplitúdó értéke a rezonancia helyén $\xi$-től függ.

Nincs rezonancia, ha $\xi \geq {1 \over {\sqrt {2}}}\approx 0.707$.

A $v(t)$ átmeneti függvénynek ezzel szemben $\Delta v>0$ túllövése van, ha $\xi <1$

8. Mi biztosítja a konstans alapjel követését állapot-visszacsatolt rendszerekben?

Az $r=y_{\infty }$ alapjel követést az $N_{x}r$ és az $N_{u}r$ jelek biztosítják az állapot-visszacsatolt rendszerben, ahol $N_{x}r=x_{\infty }$ és $N_{u}r=u_{\infty }$.

Diszkrét időben ezeket a következő feltételből lehet meghatározni:

$\left[{\begin{array}{rr}N_{x}\\N_{u}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}\Phi -I&\Gamma \\C&0\end{array}}\right]^{-1}\cdot \left[{\begin{array}{rr}0_{n\times m}\\I_{m\times m}\end{array}}\right]$

9. Miért szükséges állapotmegfigyelő alkalmazása?

Az $x$ állapotvektornak általában nem mérhető az összes komponense, például SISO esetben csak az kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába folytonos időben $u=-K{\hat {x}}$ , diszkrét időben pedig $u_{i}=-k{\hat {x}}_{i}$ alakban. Az állapotmegfigyelő egy dinamikus rendszer, amelynek kimenete a becsült állapot, bemenete pedig a szakasz kimenete és a beavatkozó jel.

10. Mi a kapcsolat a "terhelés" elnevezés és a zavaró jel között?

Terhelés alatt a szabályozott szakasz bemenetére redukált $d$ zavaró jelet értjük.

11. Hogyan küszöbölhető ki a terhelés hatása?

Ha az állapotmegfigyelő becsülni tudja a bemenetre redukált $d$ zavarást is, akkor jó becslés esetén a szabályozó kimenetéhez hozzáadva a terhelés $-{\hat {x}}_{d}$ becslését, a $d$ zavarást kompenzálja a $-{\hat {x}}_{d}$ , és a rendszer úgy viselkedik, mintha nem is lenne zavarás.

12. Mit értünk diszkrétidejű aktuális megfigyelő alatt és mik az előnyei?

A diszkrétidejű aktuális állapotmegfigyelő állapotegyenlete:

${\hat {x}}_{i}=F{\hat {x}}_{i-1}+Gy_{i}+Hu_{i-1}$

Ha ${\tilde {x}}=x-{\hat {x}}$ a becslési hiba, akkor $F=\Phi -GC\Phi ,\;H=\Gamma -GC\Gamma$ választás esetén, ha a gerjesztetlen ${\tilde {x}}_{i}=F{\tilde {x}}_{i-1}$ rendszer stabil és gyors, akkor rövid tranziens után a becslési hiba eltünik, és az állapot-visszacsatolásban $x$ helyettesíthető a vele már megegyező ${\hat {x}}$ becsült állapottal.

Az aktuális megfigyelő előnye, hogy ${\hat {x}}_{i}$ számításakor már figyelembe veszi az aktuális $y_{i}$ kimenő jelet, és ezáltal egy mintavételi időnyi holtidőt eliminál az irányítási algoritmusban, ami gyorsabb működést eredményezhet.

Mivel $\varphi _{0}(z)=\det(zI-F)=\det \left(zI-F^{T}\right)=\det \left(zI-\left(\Phi ^{T}-\Phi ^{T}C^{T}G^{T}\right)\right)$ , ezért az aktuális állapotmegfigyelő tervezése algebrailag hasonló a pólusáthelyezési feladathoz, azaz előírt $\varphi _{0}(z)$ esetén a fiktív $\left(\Phi ^{T},\Phi ^{T}C^{T}\right)_{II}$ rendszerhez kell $K_{II}=G^{T}$ fiktív állapot-visszacsatolást tervezni.

13. Miért érdemes integrátort tenni a szabályozási körbe?

A szabályozási körbe integrátort helyezve javulnak az alapjel követési és zavaró jel elnyomási tulajdonságok, ha biztosítjuk a zárt rendszer stabilitását is. Az integrátor javítja a lassú paraméterváltozásokkal szembeni robusztusságot is mindaddig, amíg a paraméterváltozások ellenére a zárt rendszer stabil marad. Ennek oka, hogy az integrátor miatt a felnyitott kör erősítése alacsony frekvencián nagy (nulla frekvencián végtelen). Másrészt viszont alacsonyfrekvenciás pólus/zérus pár léphet fel a zárt rendszer átviteli függvényében, ami a dinamikus minőségi jellemzők romlásához vezethet.

14. Hogyan képződik le egy folytonos idejű pólus a diszkrétidejű tartományba?

A folytonosidejű $s_{i}$ pólus a $z_{i}=\exp(s_{i}T)$ helyre képződik le a pólusok számának és multiplicitásának megőrzése mellett.

Mivel $s_{i}=(\ln z_{i})/T$ , ezért páratlan multiplicitású negatív valós $z_{i}$ pólusú diszkrétidejű rendszernek nincs folytonosidejű megfelelője.

15. Mit okoznak a megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében?

A megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében pólus/zérus kiejtést okoznak.

A zárt rendszernek az egyszerűsítés után megmaradó pólusai a K állapot-visszacsatolás tervezésénél specifikált $\varphi _{c}$ polinom gyökei lesznek, vagyis az állapotmegfigyelő alkalmazása nem módosítja a zárt rendszer megtervezett pólusait (feltéve, hogy a szabályozott szakasz modelljét pontosan ismerjük).