Laboratórium 2 - 8. Mérés ellenőrző kérdései

← Vissza az előző oldalra – Laboratórium 2

← Vissza az előző oldalra – Laboratórium 2 - 8. Mérés: Rendszer-identifikáció és szabályozás

1. Milyen identifikációs rendszermodelleket ismer?

AR, ARX, IV, ARMAX stb. Ezek a modellek a MATLAB System Identification (röviden IDENT) toolboxa segítségével identifikálhatók. ARX modell a klasszikus LS (least squares) becsléssel is identifikálható. A módszerek érzékenyek a jel és zaj korreláltságára, amelyen segédváltozók (IV) alkalmazásával lehet javítani. Az ARMAX modell már általánosabb zajstruktúrát alkalmaz, de identifikációja numerikusan bonyolultabb módszert igényel, nevezetesen a kvázi Newton-módszert. Lásd elméleti alapok.

2. Miért van szükség identifikációra?

Az identifikáció célja dinamikus modell nyerése az ismeretlen rendszerről, a szabályozástechnikában a szabályozott szakaszról. Dinamikus modell hiányában csak kísérletezéssel tudnánk egyszerű szabályozók paraméterbeállítását megkeresni. A dinamikus modell ismerete lehetővé teszi elméletileg megalapozott szabályozások tervezését, amely minimálissá teszi a reális folyamaton való kísérletezést. A modell jó, ha azonos bemenő jel mellett a kimenetén hasonlóan válaszol, mint az ismeretlen rendszer. A modellel szemben pótlólagos elvárásaink is lehetnek, mint például az, hogy az identifikációval kapott diszkrétidejű modellnek legyen folytonosidejű megfelelője. Ez a negatív valós pólusokkal áll kapcsolatban a z-tartományban.

3. Mit értünk állapot-visszacsatolás alatt?

Állapot-visszacsatolás alatt azt értjük, hogy a szabályozó kimenő jelét (a beavatkozó jelet) az állapotokból állítjuk elő. Lineáris állapot-visszacsatolás esetén folytonos időben $u(t)=-K\cdot x(t)$, diszkrét időben pedig $u(iT)=-K\cdot x(it)$, vagy röviden $u_i=-K\cdot x_i$, ahol T a mintavételi idő. Egyváltozós (SISO) rendszer esetén K sorvektor.

4. Mi lesz állapot-visszacsatolás esetén a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete?

Folytonos időben:

• A szakasz állapotegyenlete: $\dot{x}=Ax+Bu$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: $\dot{x}=(A-BK)\cdot x$
• A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: ${\phi }_c(s)=det(sI-(A-BK))$

Diszkrét időben:

• A szakasz állapotegyenlete: $x_{i+1}=\mathrm{\Phi }{x}_i+\mathrm{\Gamma }{u}_i$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: $x_{i+1}=(\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Gamma }K)\cdot x_i$
• A zárt rendszer állapotegyenlete: ${\phi }_c(z)=det(zI-(\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Gamma }K))$

A pólusáthelyezési feladatban előírjuk a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét (ami ekvivalens a zárt rendszer pólusainak, azaz a velük megegyező sajátértékeknek az előírásával), és keressük az ehhez szükséges állapot-visszacsatolást. Vegyük észre az algebrai hasonlóságot a folytonosidejű és diszkrétidejű feladat esetén.

5. Mik a fő problémák az egyszerű u=-Kx állapot-visszacsatolás esetén tipikus irányítási rendszerekben?

Az egyik probléma az, hogy az állapotvektornak az összes komponense általában nem mérhető, például SISO esetben csak a kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába. A másik probléma, hogy az egyszerű állapot-visszacsatolás nem veszi figyelembe az alapjelet (más néven referencia jelet), ezért pótlólagos figyelembevételéről külön kell gondoskodni, lásd $N_x,N_u$

6. Mi a domináns póluspár?

A szabályozási kör $s_{1,2}=-{\sigma }_e\pm j{\omega }_e$ póluspárját dominánsnak nevezzük, ha a zárt szabályozási kör dinamikus minőségi jellemzőit lényegében $s_{1,2}$ határozza meg. Ennek feltétele, hogy a többi stabil pólusra teljesüljön $\left|Re\left\{s_i\right\}\right|>3{\sigma }_e$, mert ekkor a többi pólus okozta tranziens már lecseng az első maximumig terjedő időpont $(T_m)$, a túllövés $(\mathrm{\Delta }v)$ és a beállási idő $(T_{2\mathrm{\%}})$ számításakor. Ebben az esetben jó közelítéssel:

$T_m=\frac{\pi }{{\omega }_e}$

$\mathrm{\Delta }v=\exp \left(\frac{-\pi {\sigma }_e}{{\omega }_e}\right)=\exp \left(\frac{-\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}\right)$

$T_{2\mathrm{\%}}=\frac{\ln (50)}{{\sigma }_e}\approx \frac{5}{{\sigma }_e}$

7. Mi a kapcsolat a kéttárolós lengő tag csillapítása és csillapítatlan sajátfrekvenciája valamint a hozzátartozó pólusok között?

A kéttárolós lengő tag átviteli függvénye:

$W(s)=\frac{{\omega }_0^2}{s^2+2\xi {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2}$

Pólusai: $s_{1,2}=-{\sigma }_e\pm j{\omega }_e=-\xi {\omega }_0\pm j{\omega }_0\sqrt{1-{\xi }^2}$

Csillapítás: $0<\xi <1$

Csillapítatlan sajátfrekvencia: ${\omega }_0=\frac{1}{T}$

Aszimptotikus amplitúdó menete az ${\omega }_0$ helyen törésfrekvenciával rendelkezik, rezonanciahelye és az amplitúdó értéke a rezonancia helyén $\xi$-től függ.

Nincs rezonancia, ha $\xi \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$.

A $v(t)$ átmeneti függvénynek ezzel szemben $\mathrm{\Delta }v>0$ túllövése van, ha $\xi <1$

8. Mi biztosítja a konstans alapjel követését állapot-visszacsatolt rendszerekben?

Az $r=y_{\mathrm{\infty }}$ alapjel követést az $N_{x}r$ és az $N_{u}r$ jelek biztosítják az állapot-visszacsatolt rendszerben, ahol $N_{x}r=x_{\mathrm{\infty }}$ és $N_{u}r=u_{\mathrm{\infty }}$.

Diszkrét időben ezeket a következő feltételből lehet meghatározni:

$\left[\begin{array}{r}{N}_x\\ N_u\end{array}\right]={\left[\begin{array}{rr}\mathrm{\Phi }-I& \mathrm{\Gamma }\\ C& 0\end{array}\right]}^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}{0}_{n\times m}\\ I_{m\times m}\end{array}\right]$

9. Miért szükséges állapotmegfigyelő alkalmazása?

Az $x$ állapotvektornak általában nem mérhető az összes komponense, például SISO esetben csak az kimenő jelet méri egy érzékelő, ezért állapotmegfigyelőt célszerű alkalmazni a becslés előállítására és bevonásába a beavatkozó jel számításába folytonos időben $u=-K\hat{x}$ , diszkrét időben pedig $u_i=-k{\hat{x}}_i$ alakban. Az állapotmegfigyelő egy dinamikus rendszer, amelynek kimenete a becsült állapot, bemenete pedig a szakasz kimenete és a beavatkozó jel.

10. Mi a kapcsolat a "terhelés" elnevezés és a zavaró jel között?

Terhelés alatt a szabályozott szakasz bemenetére redukált $d$ zavaró jelet értjük.

11. Hogyan küszöbölhető ki a terhelés hatása?

Ha az állapotmegfigyelő becsülni tudja a bemenetre redukált $d$ zavarást is, akkor jó becslés esetén a szabályozó kimenetéhez hozzáadva a terhelés $-{\hat{x}}_d$ becslését, a $d$ zavarást kompenzálja a $-{\hat{x}}_d$ , és a rendszer úgy viselkedik, mintha nem is lenne zavarás.

12. Mit értünk diszkrétidejű aktuális megfigyelő alatt és mik az előnyei?

A diszkrétidejű aktuális állapotmegfigyelő állapotegyenlete:

${\hat{x}}_i=F{\hat{x}}_{i-1}+G{y}_i+H{u}_{i-1}$

Ha $\tilde{x}=x-\hat{x}$ a becslési hiba, akkor $F=\mathrm{\Phi }-GC\mathrm{\Phi },H=\mathrm{\Gamma }-GC\mathrm{\Gamma }$ választás esetén, ha a gerjesztetlen ${\tilde{x}}_i=F{\tilde{x}}_{i-1}$ rendszer stabil és gyors, akkor rövid tranziens után a becslési hiba eltünik, és az állapot-visszacsatolásban $x$ helyettesíthető a vele már megegyező $\hat{x}$ becsült állapottal.

Az aktuális megfigyelő előnye, hogy ${\hat{x}}_i$ számításakor már figyelembe veszi az aktuális $y_i$ kimenő jelet, és ezáltal egy mintavételi időnyi holtidőt eliminál az irányítási algoritmusban, ami gyorsabb működést eredményezhet.

Mivel ${\phi }_0(z)=\det (zI-F)=\det (zI-F^T)=\det (zI-({\mathrm{\Phi }}^T-{\mathrm{\Phi }}^T{C}^T{G}^T))$ , ezért az aktuális állapotmegfigyelő tervezése algebrailag hasonló a pólusáthelyezési feladathoz, azaz előírt ${\phi }_0(z)$ esetén a fiktív ${({\mathrm{\Phi }}^T,{\mathrm{\Phi }}^T{C}^T)}_{II}$ rendszerhez kell $K_{II}=G^T$ fiktív állapot-visszacsatolást tervezni.

13. Miért érdemes integrátort tenni a szabályozási körbe?

A szabályozási körbe integrátort helyezve javulnak az alapjel követési és zavaró jel elnyomási tulajdonságok, ha biztosítjuk a zárt rendszer stabilitását is. Az integrátor javítja a lassú paraméterváltozásokkal szembeni robusztusságot is mindaddig, amíg a paraméterváltozások ellenére a zárt rendszer stabil marad. Ennek oka, hogy az integrátor miatt a felnyitott kör erősítése alacsony frekvencián nagy (nulla frekvencián végtelen). Másrészt viszont alacsonyfrekvenciás pólus/zérus pár léphet fel a zárt rendszer átviteli függvényében, ami a dinamikus minőségi jellemzők romlásához vezethet.

14. Hogyan képződik le egy folytonos idejű pólus a diszkrétidejű tartományba?

A folytonosidejű $s_i$ pólus a $z_i=\exp (s_{i}T)$ helyre képződik le a pólusok számának és multiplicitásának megőrzése mellett.

Mivel $s_i=(\ln z_i)/T$ , ezért páratlan multiplicitású negatív valós $z_i$ pólusú diszkrétidejű rendszernek nincs folytonosidejű megfelelője.

15. Mit okoznak a megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében?

A megfigyelő sajátértékei a zárt rendszer átviteli függvényében pólus/zérus kiejtést okoznak.

A zárt rendszernek az egyszerűsítés után megmaradó pólusai a K állapot-visszacsatolás tervezésénél specifikált ${\phi }_c$ polinom gyökei lesznek, vagyis az állapotmegfigyelő alkalmazása nem módosítja a zárt rendszer megtervezett pólusait (feltéve, hogy a szabályozott szakasz modelljét pontosan ismerjük).