|
|
| 12. sor: |
12. sor: |
|
| |
|
| {{noautonum}} | | {{noautonum}} |
| == Elektrosztatika ==
| |
|
| |
| === 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség === | | === 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség === |
|
| |
|
| 102. sor: |
100. sor: |
|
| |
|
| Mekkora az elektromos mező energiájának megváltozása, miközben a gömbök távolságát <math>d_2=4m</math>-re növeljük? | | Mekkora az elektromos mező energiájának megváltozása, miközben a gömbök távolságát <math>d_2=4m</math>-re növeljük? |
|
| |
| {{Rejtett
| |
| |mutatott='''Megoldás'''
| |
| |szöveg=
| |
|
| |
| Mivel <math>r_0 << d</math>, így a feladat megoldása során a helyettesítő töltések módszerét használjuk. Az <math>A</math> gömböt egy <math>Q_A</math>, a <math>B</math> gömböt pedig egy <math>Q_B</math> nagyságú ponttöltéssel helyettesítjük. A töltések előjelét már maga a változó magába foglalja.
| |
|
| |
| A két ponttöltés között ható erő nagysága egyszerűen kifejezhető, melyet átrendezve megkaphatjuk a két töltés szorzatának nagyságát:
| |
|
| |
| <math>F= {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {Q_A Q_B \over d_1^2} \longrightarrow Q_A Q_B = F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d_1^2 </math>
| |
|
| |
| Tudjuk, hogy egy ponttöltés elektromos potenciálja, attól <math>r</math> távolságra:
| |
| <math>\Phi (r) = {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r}</math>
| |
|
| |
| Ezt felhasználva fejezzük ki az <math>A</math> és <math>B</math> gömbök potenciáljait:
| |
|
| |
| <math>\Phi_A = {Q_A \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over r_0} + {Q_B \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over d} =
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d} \right)</math>
| |
|
| |
|
| |
| <math>\Phi_B = {Q_A \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over d} + {Q_B \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r_0} =
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d} + {Q_B \over r_0} \right)</math>
| |
|
| |
| Tudjuk, hogy egy levegőben elhelyezkedő elszigetelt elektródarendszer összenergiája:
| |
| <math>W_e={1 \over 2} \sum_{k=1}^n{ \Phi_k \cdot Q_k }</math>
| |
|
| |
| Ezt felhasználva kifejezhető az elektromos mező energiájának megváltozása, miközben a két gömb távolgását <math>d_1</math>-ről <math>d_2</math>-re növeljük:
| |
|
| |
|
| |
| <math>\Delta W_e = W_{e2} - W_{e1} =</math>
| |
|
| |
|
| |
| <math> = {1 \over 2} \left[
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d_2} \right) \cdot Q_A +
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d_2} + {Q_B \over r_0} \right) \cdot Q_B
| |
| \right] </math>
| |
|
| |
| <math>
| |
| -{1 \over 2} \left[
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d_1} \right) \cdot Q_A +
| |
| {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d_1} + {Q_B \over r_0} \right) \cdot Q_B
| |
| \right] =</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| <math>
| |
| = {1 \over 8 \pi \varepsilon_0} \cdot \left[ 2 \cdot {Q_A Q_B \over d_2} - 2 \cdot {Q_A Q_B \over d_1}\right] =
| |
| {Q_A Q_B \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right)
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| |
| Most behelyettesítjük a megadott adatokat és az imént kiszámolt <math>Q_AQ_B</math> szorzat értékét:
| |
|
| |
| <math>\Delta W_e =
| |
| F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d_1^2 \cdot {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right) =
| |
| F \cdot d_1^2 \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right) =
| |
| 5 \cdot 1^2 \cdot \left( {1 \over 4} - {1 \over 1} \right) = -3.75 \; J
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| |
| ''Megjegyzés:'' Jelen esetben a képletbe pozitív számként helyettesítettük be az F erő nagyságát. Ezzel azt feltételeztük, hogy <math>Q_AQ_B</math> szorzat pozitív értékű, azaz a két gömb töltése azonos előjelű, tehát köztük taszítóerő lép fel. A kapott negatív eredmény ennek meg is felel, hiszen ha két gömb taszítja egymást és mi megnöveljük a köztük lévő távolságot, akkor energiát adnak le, miközben munkát végeznek a környezetükön.<br/> Ha azonban F helyére negatívan helyettesítenénk be az 5N értékét, akkor azt feltételezném, hogy a gömbök vonzzák egymást. Ekkor pozitív eredményt kapnánk, ami szintén megfelel a várakozásoknak, hiszen két egymást vonzó gömb közötti távolságot csakis úgy tudom megnövelni, ha rajtuk munkát végzek és ezáltal megnövelem az energiájukat.
| |
| }}
| |
|
| |
| == Stacionárius áramlási tér ==
| |
|
| |
|
| === 36. Feladat: Pontszerű áramforrás környezetében a teljesítménysűrűség meghatározása === | | === 36. Feladat: Pontszerű áramforrás környezetében a teljesítménysűrűség meghatározása === |
| 272. sor: |
205. sor: |
| A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát: | | A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát: |
|
| |
|
| <math>I = \int_A \vec{J} d \vec{s}</math> | | <math>I = \int_A \vec{J} d \vec{A}</math> |
|
| |
|
| Esetünkben a J áramsűrűség-vektor z irányú, így nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk: | | Esetünkben a J áramsűrűség-vektor z irányú, így nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk: |
| 279. sor: |
212. sor: |
|
| |
|
| }} | | }} |
|
| |
| == Stacionárius mágneses tér ==
| |
|
| |
|
| === 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás === | | === 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás === |
| 410. sor: |
341. sor: |
|
| |
|
| === 59. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény === | | === 59. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény === |
|
| |
| A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls!
| |
|
| |
|
| Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el. | | Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el. |
| 453. sor: |
382. sor: |
|
| |
|
| <math>B(r) =\mu_0 \mu_r {N I \over L} =4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1200 \cdot {200 \cdot 0.3 \over 0.6} \approx 0.151 \; T </math> | | <math>B(r) =\mu_0 \mu_r {N I \over L} =4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1200 \cdot {200 \cdot 0.3 \over 0.6} \approx 0.151 \; T </math> |
|
| |
| }}
| |
|
| |
| === 64. Feladat: Hosszú egyenes vezető mágneses tere és a vezetőben tárolt mágneses energia ===
| |
|
| |
| Hosszú, <math>R</math> sugarú alumínium vezetőben <math>I</math> áram folyik.
| |
|
| |
| Határozza meg a vezető környezetében a mágneses teret! Mennyi mágneses energia raktározódik a vezető egység hosszú szakaszában?
| |
|
| |
| {{Rejtett
| |
| |mutatott='''Megoldás'''
| |
| |szöveg=
| |
|
| |
| Az Ampere-féle gerjesztési törvényt írjuk fel egy olyan zárt r sugarú, L körvonalra, amely által kifeszített A körlap merőleges a vezetékre és a vezeték tengelye pont a közepén döfi át.
| |
|
| |
| <math>\oint_L \vec{H} \; \mathrm{d} \vec{l} = \int_A \vec{J} \; \mathrm{d} \vec{s}</math>
| |
|
| |
| Szimmetria okokból a mágneses térerősségvektorok az L görbe minden pontjában érintő irányúak lesznek, így a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik minden esetben. Az egyenlet jobb oldala miatt viszont két esetre kell bontanunk a vizsgálódást:
| |
|
| |
|
| |
| '''1. Eset:''' Ha a vezetéken kívül vagyunk <math>(r>R)</math>, akkor az áramsűrűség felületintegrálja a vezeték teljes áramával egyenlő.
| |
|
| |
| <math>H(r) \cdot 2r\pi = I \longrightarrow \vec{H}(r) = {I \over 2r\pi} \cdot \vec{e}_{\varphi}</math>
| |
|
| |
|
| |
| '''2. Eset:''' Ha a vezetéken belül vagyunk <math>(r \leq R)</math>, akkor a teljes <math>I</math> áramnak csak a felületarányos része lesz az áramsűrűség integráljának eredménye.
| |
|
| |
| <math>H(r) \cdot 2r\pi = J \cdot r^2 \pi </math>
| |
|
| |
| <math>H(r) \cdot 2r\pi = {I \over R^2 \pi} \cdot r^2 \pi \longrightarrow \vec{H}(r) =
| |
| {I \over 2R^2\pi} \cdot r \cdot \vec{e}_{\varphi}</math>
| |
|
| |
|
| |
| A vezeték egységnyi hosszában tárolt mágneses energia meghatározására az ismert összefüggés:
| |
|
| |
| <math>W_m={1 \over 2} \int_V \vec{H} \cdot \vec{B} \; \mathrm{d} V </math>
| |
|
| |
| Mivel homogén közegben <math>\vec{B}=\mu \vec{H}</math>, azaz a vektorok egy irányba mutatnak minden pontban, így a skaláris szorzatuk megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával. Azonban a mágneses térerősségvektor nagysága függ a sugártól, ezért célszerűen áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe és ott végezzük el az integrálást:
| |
|
| |
| <math>W_m={1 \over 2} \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \mu H^2(r) \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
| |
| {1 \over 2} \mu \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \left({I \over 2R^2\pi} \cdot r \right)^2 \;\mathrm{d}z \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =
| |
| {\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^2 \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| |
| <math>={\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot \int_0^R r^2 \; \mathrm{d} r =
| |
| {\mu I^2 \over 4 R^4 \pi} \cdot \left[ {r^3 \over 3} \right]_0^R=
| |
| {\mu I^2 \over 12 R^4 \pi} \cdot R^3 =
| |
| {\mu I^2 \over 12 R \pi} = {\mu_0 \mu_r I^2 \over 12 R \pi}
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| }} | | }} |
| 520. sor: |
399. sor: |
| <math>H 2 d \pi = I \longrightarrow H = \frac{I}{2 d \pi}=\frac{5}{2 \cdot 0.03 \pi} \approx 26.53 \;{A \over m}</math> | | <math>H 2 d \pi = I \longrightarrow H = \frac{I}{2 d \pi}=\frac{5}{2 \cdot 0.03 \pi} \approx 26.53 \;{A \over m}</math> |
| }} | | }} |
|
| |
| == Távvezetékek (TV) ==
| |
|
| |
|
| === 78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása === | | === 78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása === |
| 649. sor: |
526. sor: |
|
| |
|
| }} | | }} |
|
| |
| == Indukálási jelenségek ==
| |
|
| |
|
| === 94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram effektív értéke === | | === 94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram effektív értéke === |
| 718. sor: |
593. sor: |
|
| |
|
| }} | | }} |
|
| |
| == Elektromágneses síkhullám jó vezetőben ==
| |
|
| |
|
| === 105. Feladat: Hengeres vezetőben adott mélységben a térerősség amplitúdója és fázisa === | | === 105. Feladat: Hengeres vezetőben adott mélységben a térerősség amplitúdója és fázisa === |
| 831. sor: |
704. sor: |
| }} | | }} |
|
| |
|
| == Elektromágneses hullámok==
| | === 119. Feladat: Hullámimpedancia számítása === |
| | |
| === 119. Feladat: Közeg hullámimpedanciájának számítása === | |
|
| |
|
| Egy adott <math>\mu_r=5</math> relatív permeabilitású közegben síkhullám terjed <math>\omega = 10 {Mrad \over s}</math> körfrekvenciával. A terjedési együttható értéke: <math>\gamma = 0.1 \cdot j \;{1 \over m}</math><br /> Adja meg a közeg hullámellenállásának értékét! | | Egy adott <math>\mu_r=5</math> relatív permeabilitású közegben síkhullám terjed <math>\omega = 10 {Mrad \over s}</math> körfrekvenciával. A terjedési együttható értéke: <math>\gamma = 0.1 \cdot j \;{1 \over mm}</math><br /> Adja meg a közeg hullámellenállásának értékét! |
|
| |
|
| {{Rejtett | | {{Rejtett |
| 858. sor: |
729. sor: |
|
| |
|
|
| |
|
| <math> Z_0 = \frac{j \omega \mu}{\gamma} = {j 10^7 \cdot 5 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \over j 0.1}=628.3 \;\Omega</math> | | <math> Z_0 = \frac{j \omega \mu}{\gamma} = {j 10^7 \cdot 5 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \over j 10^2}=0.628 \;\Omega</math> |
|
| |
|
| Behelyettesítés előtt ω és γ értékét alakítsuk megfelelő mértékegységre (1/s és 1/m), illetve figyeljünk hogy <math>\mu = \mu_0 \cdot \mu_r</math> | | Behelyettesítés előtt ω és γ értékét alakítsuk megfelelő mértékegységre (1/s és 1/m), illetve figyeljünk hogy <math>\mu = \mu_0 \cdot \mu_r</math> |
| 899. sor: |
770. sor: |
|
| |
|
| }} | | }} |
|
| |
| == Poynting-vektor ==
| |
|
| |
|
| === 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény === | | === 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény === |