„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 100. sor: / 100. sor: @@
 Mekkora az elektromos mező energiájának megváltozása, miközben a gömbök távolságát <math>d_2=4m</math>-re növeljük?
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
+Mivel <math>r_0 << d</math>, így a feladat megoldása során a helyettesítő töltések módszerét használjuk. Az <math>A</math> gömböt egy <math>Q_A</math>, a <math>B</math> gömböt pedig egy <math>Q_B</math> nagyságú ponttöltéssel helyettesítjük. A töltések előjelét már maga a változó magába foglalja.
+A két ponttöltés között ható erő nagysága egyszerűen kifejezhető, melyet átrendezve megkaphatjuk a két töltés szorzatának nagyságát:
+<math>F= {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {Q_A Q_B \over d_1^2} \longrightarrow Q_A Q_B = F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d_1^2 </math>
+Tudjuk, hogy egy ponttöltés elektromos potenciálja, attól <math>r</math> távolságra:
+<math>\Phi (r) = {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r}</math>
+Ezt felhasználva fejezzük ki az <math>A</math> és <math>B</math> gömbök potenciáljait:
+<math>\Phi_A = {Q_A \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over r_0} + {Q_B \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over d} =
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d} \right)</math>
+<math>\Phi_B = {Q_A \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over d} + {Q_B \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r_0} =
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d} + {Q_B \over r_0} \right)</math>
+Tudjuk, hogy egy levegőben elhelyezkedő elszigetelt elektródarendszer összenergiája:
+<math>W_e={1 \over 2} \sum_{k=1}^n{ \Phi_k \cdot Q_k }</math>
+Ezt felhasználva kifejezhető az elektromos mező energiájának megváltozása, miközben a két gömb távolgását <math>d_1</math>-ről <math>d_2</math>-re növeljük:
+<math>\Delta W_e = W_{e2} - W_{e1} =</math>
+<math> = {1 \over 2} \left[
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d_2} \right) \cdot Q_A +
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d_2} + {Q_B \over r_0} \right) \cdot Q_B
+\right] </math>
+<math>
+ -{1 \over 2} \left[
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over r_0} + {Q_B \over d_1} \right) \cdot Q_A +
+{1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {Q_A \over d_1} + {Q_B \over r_0} \right) \cdot Q_B
+\right] =</math>
+<math>
+= {1 \over 8 \pi \varepsilon_0} \cdot \left[ 2 \cdot {Q_A Q_B \over d_2} - 2 \cdot {Q_A Q_B \over d_1}\right] =
+{Q_A Q_B \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right)
+</math>
+Most behelyettesítjük a megadott adatokat és az imént kiszámolt <math>Q_AQ_B</math> szorzat értékét:
+<math>\Delta W_e =
+F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d_1^2 \cdot {1 \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right) =
+F \cdot  d_1^2 \cdot \left( {1 \over d_2} - {1 \over d_1} \right) =
+\cdot  1^2 \cdot \left( {1 \over 4} - {1 \over 1} \right) = -3.75 \; J
+</math>
+''Megjegyzés:'' Jelen esetben a képletbe pozitív számként helyettesítettük be az F erő nagyságát. Ezzel azt feltételeztük, hogy <math>Q_AQ_B</math> szorzat pozitív értékű, azaz a két gömb töltése azonos előjelű, tehát köztük taszítóerő lép fel. A kapott negatív eredmény ennek meg is felel, hiszen ha két gömb taszítja egymást és mi megnöveljük a köztük lévő távolságot, akkor energiát adnak le, miközben munkát végeznek a környezetükön.<br/> Ha azonban F helyére negatívan helyettesítenénk be az 5N értékét, akkor azt feltételezném, hogy a gömbök vonzzák egymást. Ekkor pozitív eredményt kapnánk, ami szintén megfelel a várakozásoknak, hiszen két egymást vonzó gömb közötti távolságot csakis úgy tudom megnövelni, ha rajtuk munkát végzek és ezáltal megnövelem az energiájukat.
+}}
 === 36. Feladat: Pontszerű áramforrás környezetében a teljesítménysűrűség meghatározása ===