„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés
| 14. sor: | 14. sor: | ||
=== 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség === | === 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség === | ||
Két azonos <math>r_0=3 cm</math> sugarú fémgömb középpontjának távolsága <math>d=1.8m</math>. A gömbök közé <math>U_0=5kV</math> fezsültséget kapcsolunk. | |||
Határozza meg a középpontokat összekötő egyenes szakasz felezőpontjában az elektromos térerősséget. | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
Mivel <math>r_0 << d</math>, így a feladat megoldása során a helyettesítő töltések módszerét használjuk. Az <math>A</math> gömböt egy <math>Q</math>, a <math>B</math> gömböt pedig egy <math>-Q</math> nagyságú ponttöltéssel helyettesítjük. | |||
Tudjuk, hogy egy ponttöltés elektromos potenciálja, attól <math>r</math> távolságra: | |||
<math>\Phi (r) = {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r}</math> | |||
A gömb közötti feszültség felírható a két gömb potenciálkülönbségeként. A fenti képletet felhasználva: | |||
<math> | |||
U_0 = \Phi_A - \Phi_B = | |||
\left( {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r_0} + {-Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over d-r_0}\right) - | |||
\left( {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over d-r_0} + {-Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r_0}\right) = | |||
</math> | |||
<math> | |||
= {2Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r_0} - {2Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over d-r_0}= | |||
{Q \over 2 \pi \varepsilon} \cdot \left( {1 \over r_0} - {1 \over d-r_0} \right) | |||
</math> | |||
Ebből kifejezhető a gömbök <math>Q</math> töltésének nagysága: | |||
<math>Q= { U_0 \cdot 2\pi \varepsilon \over {1 \over r_0} - {1 \over d-r_0} } </math> | |||
Tudjuk, hogy egy ponttöltés elektromos térerőssége sugárirányú és attól <math>r</math> távolságra a nagysága: | |||
<math>E (r) = {Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over r^2}</math> | |||
A gömbök középpontját összekötő egyenes felezőpontjában az elektromos térerősség felírható a két gömb elektromos terének szuperpozíciójaként. Mivel a térerősségvektorok egy egyenesbe esnek, és mindkét térerősségvektor a negatív töltésű <math>B</math> gömb felé mutat, így szuperpozíció egy algebrai összegé egyszerűsödik. A fenti képletet felhasználva: | |||
<math>E_{d/2} = E_{A,d/2} + E_{B,d/2} = | |||
{Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over \left({d \over 2}\right)^2} + | |||
{Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot {1 \over \left({d \over 2}\right)^2} = | |||
{Q \over 4 \pi \varepsilon} \cdot \left( {4 \over d^2} + {4 \over d^2}\right) = | |||
{Q \over \pi \varepsilon} \cdot {2 \over d^2} | |||
</math> | |||
Behelyettesítve a <math>Q</math> töltésre kiszámolt képletet: | |||
<math> | |||
E_{d/2} = { U_0 \cdot 2\pi \varepsilon \over {1 \over r_0} - {1 \over d-r_0} } \cdot {1 \over \pi \varepsilon} \cdot {2 \over d^2} = | |||
{4U_0 \over \left( {1 \over r_0} - {1 \over d-r_0} \right) \cdot d^2 } = | |||
{4 \cdot 5000 \over \left( {1 \over 0.03} - {1 \over 1.8-0.03} \right) \cdot 1.8^2 } \approx 188.4 \; {V \over m} | |||
</math> | |||
}} | }} | ||
=== 3. Feladat: Elektromos térerősség egyenletesen töltött henger belsejében === | === 3. Feladat: Elektromos térerősség egyenletesen töltött henger belsejében === | ||