VIK Wiki

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
79. sor: 79. sor:
A feladat ekvivalens a következővel:
A feladat ekvivalens a következővel:


Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> egyenletnek?
Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> függvénynek?


Deriváljuk a függvényt először:
Deriváljuk a függvényt először:
89. sor: 89. sor:
<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>
<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>


Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f''(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:  
ha f''(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.


<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>, tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.


Így igaz a következő <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szig. mon. nő,
<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>.
<math>(-1,1)</math>-on szig.mon. csökken, <math>(1,\infty)</math>-on szig. mon. nő.


Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
 
Így igaz, hogy a függvény a <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szigorúan monoton nő, a
<math>(-1,1)</math> intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a <math>(1,\infty)</math> intervallumon szigorúan monoton nő.
 
Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:


<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
104. sor: 109. sor:


Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.
-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.
-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.05.27.
Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök  és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.
-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.


}}
}}
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.23”