Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok

← Vissza az előző oldalra – Elektromágneses terek alapjai

Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán húzható számolási feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, mivel a vizsgán is csak a számolás menetére és elméleti hátterére kíváncsiak.

Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletes megoldással is.

Már az is nagy segítség, ha legalább az általad húzott feladat PONTOS szövegét és SORSZÁMÁT beírod ide! Sablon:Noautonum

36. Feladat:

Adott egy pontszerű $I=10A$ áramerősségű pontszerű áramforrás egy $\sigma =200{S \over m}$ fajlagos vezetőképességű közegben.
Határozza meg a teljesítménysűrűséget a forrástól $R=3m$ távolságban.

Megoldás

A feladat megoldásához a stacionárius áramlási tér - elektrosztatika betűcserés analógiát fogjuk felhasználni.

Ehhez először szükségünk van a pontszerű töltés által keltett elektrosztatikus mező elektromos eltolásvektorának kifejezésére.
Felírva a Gauss-törvényt egy V térfogatú S felületű gömbre, melynek középpontja a ponttöltés:

$\oint _{S}{\vec {D}}d{\vec {A}}=\int _{V}\rho dV$

Szimmetria okokból az eltolásvektor erővonali gömbszimmetrikusak lesznek, így a felületintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik:

$D(r)4r^{2}\pi =Q\longrightarrow {\vec {D}}(r)={Q \over 4\pi }{1 \over r^{2}}*{\vec {e}}_{r}$

Most felhasználva a betűcserés analógiát, megkapható a pontszerű áramforrás áramsűrűségvektora:

${\vec {J}}\longleftrightarrow {\vec {D}}$

$I\longleftrightarrow Q$

${\vec {J}}(r)={I \over 4\pi }{1 \over r^{2}}*{\vec {e}}_{r}$

Az áramsűrűség segítségével pedig pedig felírható a teljesítménysűrűség a távolság függvényében:

$p(r)={\left(J(r)\right)^{2} \over \sigma }=\left({I \over 4\pi }{1 \over r^{2}}\right)^{2}*{1 \over \sigma }={I^{2} \over 16\pi ^{2}\sigma }{1 \over r^{4}}$

Innét pedig a teljesítménysűrűség a pontforrástól R távolságra:

$p(R)={10^{2} \over 16\pi ^{2}200}{1 \over 3^{4}}\approx 39.09{\mu W \over m^{3}}$

38. Feladat: Koaxiális kábel szivárgási ellenállásából fajlagos vezetőképesség számítása

Egy koaxiális kábel erének a sugara ${r_{1}}=2mm$, köpenyének belső sugara ${r_{2}}=6mm$.

Mekkora a szigetelőanyag $\sigma$ fajlagos vezetőképessége, ha a kábel $l=200m$ hosszú szakaszának szivárgási ellenállása $R=4M\Omega$?

Megoldás

Először is vegyük fel a koaxiális kábel elektrosztatikai modelljét (hengerkondenzátor) és számoljuk ki a hosszegységre eső kapacitását. Ezt úgy tehetjük meg, hogy előbb kiszámoljuk a potenciálkülönséget az ér és a köpeny között, majd kifejezzük a kapacitást:

$U=-\int _{r_{2}}^{r_{1}}{\vec {E}}(r)d{\vec {r}}=-\int _{r_{2}}^{r_{1}}{q \over 2\pi \varepsilon }*{1 \over r}dr=-{q \over 2\pi \varepsilon }*\left[ln(r)\right]_{r_{2}}^{r_{1}}={q \over {2\pi \varepsilon }}\ln {{r_{2}} \over {r_{1}}}$

$q=U{{2\pi \varepsilon } \over {\ln {{r_{2}} \over {r_{1}}}}}$

Ebből a hosszegységre eső kapacitás:

$C=C'l$

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C \buildrel \Delta \over = {Q \over U} = {{ql} \over U} \to C' = {C \over l} = {{{{ql} \over U}} \over l} = {q \over U} = { U {2 \pi \varepsilon \over ln{r_2 \over r_1}}} * {1 \over U } = {{2\pi \varepsilon } \over {\ln {{{r_2}} \over {{r_1}}}}} }

(Persze aki tudja fejből a koaxiális kábel hosszegységre eső kapacitását, az kezdheti kapásból innét is a feladatot)

Majd használjuk az elektrosztatika illetve az áramlási tér közötti betűcserés analógiákat:

$C'\leftrightarrow G'$

$\varepsilon \leftrightarrow \sigma$

Amit áthelyettesítve megkapjuk a hosszegységre eső konduktanciát:

$G'={{2\pi \sigma } \over {\ln {{r_{2}} \over {r_{1}}}}}$

Most kifejezzük a hosszegységre eső konduktanciát a szivárgási ellenállásból és a vezeték hosszából. Ha ez megvan akkor csak át kell rendezni a fajlagos vezetőképességre az egyenletet:

$G=G'l={1 \over R}\to G'={1 \over R}{1 \over l}$

$G'={{2\pi \sigma } \over {\ln {{r_{2}} \over {r_{1}}}}}={1 \over R}{1 \over l}\to \sigma ={{\ln {{r_{2}} \over {r_{1}}}} \over {2\pi }}{1 \over R}{1 \over l}={ln{6 \over 2} \over 2\pi }*{1 \over 4*10^{6}}*{1 \over 200}\approx 218.6{pS \over m}$

42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása

Stacionárius áramlási térben az áramsűrűség ${\vec {J}}={\vec {e}}_{z}*5{kA \over m^{2}}$. Mekkora a z-tengellyel 60°-os szöget bezáró $A=80cm^{2}$ felületen átfolyó áram?

Megoldás

A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát:

$I=\int _{A}{\vec {J}}d{\vec {A}}$

Esetünkben a J áramsűrűség-vektor z irányú, így nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk:

$I=JA\sin 60^{\circ }=5000*80*10^{-4}*\sin 60^{\circ }=34.64A$

50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás

Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól $d=4m$ távolságban helyezkedik el. Az egyiken $I_{1}=2A$, a másikon $I_{2}=3A$ folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték $l=1m$-es szakaszára?

Megoldás

Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.

A mágneses térerősséget egy olyan L körvonalon integráljuk, ami által kifeszített S felület középpontját merőlegesen döfi át az egyik vezeték. Mivel a mágneses térerősségvektor a körvonal minden pontjában érintő irányú, így a vonalintegrál szorzássá egyszerűsödik.

$\oint _{L}{\vec {H}}d{\vec {l}}=\int _{S}{\vec {J}}d{\vec {A}}=I$

$H_{1}2d\pi =I_{1}\longrightarrow H_{1}={\frac {I_{1}}{2d\pi }}$

Tudjuk még, hogy $B=\mu _{0}H$ vákuumban.

A Lorentz-erő képlete is szorzássá egyszerűsödik, mivel a vektorok derékszöget zárnak be egymással:

$F=q(v\times B)=I(l\times B)$, ahol $I$ a konstans áramerősség, $l$ pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m.

Innen a megoldás:

$F_{12}=I_{2}lB_{1}=I_{2}l\mu _{0}H_{1}={\frac {\mu _{0}lI_{1}I_{2}}{2d\pi }}={\frac {4\pi 10^{-7}\cdot 1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 4\cdot \pi }}=3\cdot 10^{-7}N$

Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, akkor taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:

$F=2\cdot 10^{-7}N$

52. Feladat: Két toroid tekercs kölcsönös indukciója

Egy toroidra két tekercs van csévélve, az egyik menetszáma $N_{1}$, a másiké $N_{2}$. A toroid közepes sugara $r$, keresztmetszetének felülete $A$, relatív permeabilitása $\mu _{r}$.
Határozza meg a két tekercs kölcsönös induktivitását!

Megoldás

A kölcsönös induktivitás definíció szerint:

$L_{12}={\frac {\Psi _{21}}{I}}={\frac {N_{2}\Phi _{21}}{I}}={\frac {N_{2}\int _{A_{1}}{\vec {B_{2}}}\mathrm {d} {\vec {A_{1}}}}{I}}={\frac {N_{2}B_{2}N_{1}A}{I}}={\frac {N_{2}\mu _{0}\mu _{r}H_{2}N_{1}A}{I}}={\frac {N_{2}\mu _{0}\mu _{r}IN_{1}A}{I2r\pi }}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}N_{1}N_{2}A}{2r\pi }}$

57. Feladat: EM hullám elektromos térerősségvektorából mágneses térerősségvektor számítása

Egy levegőben terjedő elektromágneses hullám komplex elektromos térerősségvektora: ${\vec {E}}=(5{\vec {e}}_{y}-12{\vec {e}}_{z})*e^{j\pi /3}{kV \over m}$
Adja meg a ${\vec {H}}$ komplex mágneses térerősségvektort!

Megoldás

A megoldás során a távvezeték - EM hullám betűcserés analógiát használjuk fel!

Először is szükségünk van a levegő hullámimpedanciájára. Mivel levegőben vagyunk, így $\sigma <<\varepsilon$, valamint $\mu =\mu _{0}$ és $\varepsilon =\varepsilon _{0}$

$Z_{0}={\sqrt {j\omega \mu \over \sigma +j\omega \varepsilon }}\approx {\sqrt {\mu _{0} \over \varepsilon _{0}}}\approx 377\Omega$

Bontsuk most fel a komplex elektromos térerősségvektort a két komponensére:

${\vec {E}}={\vec {E}}_{y}+{\vec {E}}_{z}$

${\vec {E}}_{y}=5e^{j\pi /3}*{\vec {e}}_{y}{kV \over m}$

${\vec {E}}_{z}=-12e^{j\pi /3}*{\vec {e}}_{z}{kV \over m}$

Ezek alapján már felírhatóak a komplex mágneses térerősségvektor komponensei (vigyázat az egységvektorok forognak $x\rightarrow y\rightarrow z\rightarrow x$):

${\vec {H}}_{z}={E_{y} \over Z_{0}}*{\vec {e}}_{z}\approx 13.26e^{j\pi /3}*{\vec {e}}_{z}{A \over m}$

${\vec {H}}_{x}={E_{z} \over Z_{0}}*{\vec {e}}_{x}\approx -31.83e^{j\pi /3}*{\vec {e}}_{x}{A \over m}$

A két komponens összegéből pedig már előáll a komplex mágneses térerősségvektor:

${\vec {H}}={\vec {H}}_{z}+{\vec {H}}_{x}\approx (13.26{\vec {e}}_{z}-31.83{\vec {e}}_{x})*e^{j\pi /3}{A \over m}$

58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája

Hányszorosára változik egy $L$ önindukciós együtthatóval rendelkező $I_{1}=2A$ árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan $I_{2}=5A$ -re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?

Megoldás

Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.

Egy bármilyen tekercs fluxusa az $\Psi =LI$ képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: ${\frac {\Psi _{2}}{\Psi _{1}}}={\frac {LI_{2}}{LI_{1}}}={\frac {I_{2}}{I_{1}}}=2.5$

Egy bármilyen tekercs energiája számolható a $W={\frac {1}{2}}LI^{2}$ képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: ${\frac {W_{2}}{W_{1}}}={\frac {{\frac {1}{2}}L*I_{2}^{2}}{{\frac {1}{2}}L*I_{1}^{2}}}={\frac {I_{2}^{2}}{I_{1}^{2}}}=2.5^{2}=6.25$

59. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény

Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy $\sigma =50{nS \over m}$ fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el. A kondenzátor $A=100cm^{2}$ felületű fegyverzetei egymástól $d=20mm$ távolságra helyezkednek el. Határozza meg a dielektrikumban disszipált teljesítményt, ha a kondenzátor fegyverzeteire $U=1.2kV$ feszültséget kapcsolunk.

Megoldás

A dielektrikum $G$ konduktanciájának meghatározására alkalmazható stacionárius áramlás - elektrosztatika betűcserés analógia, mivel a két jelenséget ugyanolyan alakú differenciálegyenletek és azonos peremfeltételek írják le.

$G=C_{\varepsilon \leftarrow \sigma }=\sigma {A \over d}=50*10^{-9}*{100*10^{-4} \over 20*10^{-3}}=2.5*10^{-8}S$

A dielektrikumban disszipált teljesítmény innét már könnyen számolható az ismert képlet alapján:

$P=U^{2}G=1200^{2}*2.5*10^{-8}=36mW$

65. Feladat: Koaxiális jellegű vezeték tengelyében a mágneses térerősség

Egy $r=0.09m$ sugarú vékony falú rézcső belsejében, a tengelytől $d=0.03m$ távolságra, azzal párhuzamosan egy vékony rézvezeték helyezkedik el. Mindkét vezető elég hosszú és $I=5A$ nagyságú egyenáram folyik bennük, de ellenkező irányban. Mekkora az eredő mágneses térerősség nagysága a tengelyben?

Megoldás

A feladatot bontsuk két részre. Első körben az Ampere-féle gerjesztési törvény segítségével megállapítható, hogy a rézcső belsejében a mágneses térerősség nagysága, csakis a belső rézvezeték elhelyezkedésétől és az abban folyó áram nagyságától függ.

$\oint _{L}{\vec {H}}d{\vec {l}}=\int _{S}{\vec {J}}d{\vec {A}}=I$

Ez onnét látszik, hogyha olyan zárt L görbe mentén integrálunk, ami a rézcsőn belül vezet, akkor a görbe által kifeszített S síkon csakis a vékony rézvezeték árama megy át.

Második körben meghatározható a vékony rézvezeték által a tengely mentén keltett mágneses térerősség nagysága. Szimmetria okokból a vékony rézvezeték mágneses tere hengerszimmetrikus, az erővonalak koncentrikus körök, ezért a mágneses térerősségvektor mindig érintő irányú, így a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik:

$H2d\pi =I\longrightarrow H={\frac {I}{2d\pi }}={\frac {5}{2*0.03\pi }}\approx 26.53{A \over m}$

78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása

Egy ideális távvezeték mentén a feszültség komplex amplitúdója az $U(z)=(3+4j)*e^{-j\beta z}+(2-j)*e^{j\beta z}$ függvény szerint változik. Adja meg az állóhullámarányt!

Megoldás

A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad --> - j*béta*z ) és a reflektált (negatív irányba halad --> + j*béta*z ) komponenseinek komplex amplitúdói:

$U^{+}=3+4j$

$U^{-}=2-j$

Megjegyzés: A feladat megadható úgy is, hogy U(x) függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (U2+) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (U2-) pedig a negatív hatványkitevő!

Kapcsolat a két fajta paraméterezés között:

$U_{2}^{+}=U^{+}e^{-\gamma l}\xrightarrow {idealisTV} U^{+}e^{-j\beta l}$

$U_{2}^{-}=U^{-}e^{\gamma l}\xrightarrow {idealisTV} U^{-}e^{j\beta l}$

Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti "x" paraméterezéssel, majd ebből "z" szerinti paraméterezéssel:

$|r|=\left|{U_{reflektalt} \over U_{beeso}}\right|=\left|{U_{2}^{-} \over U_{2}^{+}}\right|=\left|{U^{-} \over U^{+}}e^{j2\beta l}\right|=\left|{U^{-} \over U^{+}}\right|=\left|{2-j \over 3+4j}\right|={1 \over {\sqrt {5}}}=0.447$

Ebből pedig már számolható a távvezeték állóhullámaránya:

$\sigma ={1+|r] \over 1-|r|}={1+0.447 \over 1-0.447}\approx 2.62$

81. Feladat: Egyenfeszültséggel gerjesztett távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása

Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: $R'=20{m\Omega \over m}$ és $G'=5{\mu S \over m}$. Egy $U_{0}$ egyenfeszültségű feszültségforrást kapcsolunk rá. Milyen lesz a kialakuló hullámforma a távvezetéken? Határozza meg azt a z távolságot, ahol a feszültség $U_{0}/2$ lesz!

Megoldás

Először határozzuk meg, hogy milyen lesz a kialakuló hullámforma. Ehhez vegyük a távvezetéken kialakuló idő és helyfüggő feszültségfüggvény általános alakját:

$u(t,z)=|U^{+}|*e^{-\alpha z}*cos(\omega t-\beta z+\varphi ^{+})+|U^{-}|*e^{\alpha z}*cos(\omega t+\beta z+\varphi ^{-})$

Mivel a távvezeték végtelen hosszúságú, így nincs reflektált komponens, tehát a második tag nulla. Továbbá mivel egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket azaz $\omega =0$, ezért az alant lévő számításból látszik, hogy a terjedési együttható tisztán valós lesz, tehát $\beta =0$. Az egyenfeszültségből következik, hogy a $\varphi$ kezdőfázis is zérus. Ezeket mind felhasználva adódik, hogy a koszinusz argumentuma konstans 0, tehát a koszinusz értéke konstans 1.

Tehát távvezetéken kialakuló feszültség idő- és helyfüggvénye (gyakorlatilag az időtől független lesz):

$u(t,z)=U_{0}*e^{-\alpha z}$

Ebből látszik, hogy a kialakuló hullámforma egy $U_{0}$-tól induló a végtelenben exponenciálisan lecsengő görbének felel meg.

A kérdéses "z" távolság meghatározásához, először ki kell számolnunk, hogy mennyi a távvezeték csillapítása ($\alpha$), feltéve hogy $\omega =0$, hiszen egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket:

$\alpha =Re\left\{\gamma \right\}=Re\left\{{\sqrt {(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}\right\}=Re\left\{{\sqrt {R'*G'}}\right\}={\sqrt {R'*G'}}={\sqrt {0.02*5*10^{-6}}}=3.16*10^{-4}{1 \over m}$

Most meg kell határoznunk, hogy a távvezeték mely "z" távolságú pontjára csillapodik a feszültség amplitúdója az eredeti érték felére:

$U_{0}*e^{-\alpha *z}={U_{0} \over 2}$

$e^{-\alpha *z}=0.5$

$-\alpha *z=\ln 0.5\longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha }=-{\ln 0.5 \over 3.16*10^{-4}}=2.192km$

82. Feladat: Ideális távvezeték bemeneti impedanciája

Egy ideális, légszigetelésű $l$ hosszúságú, $Z_{0}$ hullámimpedanciájú távvezeték vezetett hullámhossza $\lambda ={l \over 8}$. Mekkora a távvezeték elején a bemeneti impedancia, ha a távvezeték végén a lezárás egy $L={Z_{0} \over \omega }$ induktivitású ideális tekercs?

Megoldás

Tudjuk, hogy: $\beta ={2\pi \over \lambda }\longrightarrow (\beta l)={2\pi \over \lambda }l={2\pi \over {l \over 8}}l=16\pi$

A lezáró tekercs impedanciája: $Z_{2}=j\omega L=j\omega {Z_{0} \over \omega }=jZ_{0}$

Ezt behelyettesítve az ideális távvezeték bemeneti impedanciájának képletébe, majd egyszerűsítve azt, máris adódik a végeredmény:

$Z_{be}=Z_{0}{Z_{2}+jZ_{0}tg(\beta l) \over Z_{0}+jZ_{2}tg(\beta l)}=Z_{0}{jZ_{0}+jZ_{0}tg(16\pi ) \over Z_{0}+jjZ_{0}tg(16\pi )}=jZ_{0}{1+tg(16\pi ) \over 1-tg(16\pi )}=jZ_{0}{1+0 \over 1-0}=jZ_{0}$

86. Feladat: Számolás az ideális TV lánckarakterisztikájának I. egyenletével

Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája $50\Omega$, hossza pedig ${\frac {\lambda }{8}}$. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: $2A$ illetve $500V$.
Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején!

Megoldás

Tudjuk, hogy: $\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\longrightarrow (\beta l)={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {\lambda }{8}}={\frac {\pi }{4}}$

Miután ez megvan, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét, majd behelyettesítünk:

$U_{1}=cos(\beta l)*U_{2}+j*sin(\beta l)*Z_{0}*I_{2}=cos\left({\pi \over 4}\right)*500+j*sin\left({\pi \over 4}\right)*50*2\approx (354+j70.7)V$

87. Feladat: Számolás az ideális TV lánckarakterisztikájának II. egyenletével

Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája $50\Omega$, hossza pedig ${\frac {\lambda }{3}}$. A távvezeték vége szakadással van lezárva, melyen a feszültség komplex amplitúdója $j150V$.
Határozzuk meg az áramerősség komplex amplitúdóját a távvezeték elején!

Megoldás

Tudjuk, hogy: $\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\longrightarrow (\beta l)={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {\lambda }{3}}={\frac {2\pi }{3}}$

Miután ez megvan, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának második egyenletét, majd behelyettesítünk:

$I_{1}=j*{1 \over Z_{0}}*sin(\beta l)*U_{2}+cos(\beta l)*I_{2}=j*{1 \over 50}*sin\left({\frac {2\pi }{3}}\right)*j150+cos\left({\frac {2\pi }{3}}\right)*0=-3*sin\left({\frac {2\pi }{3}}\right)\approx -2.6A$

94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram effektív értéke

Egy $R=5\Omega$ ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa $\Phi (t)=30*sin(\omega t)mVs$, ahol $\omega =1{krad \over s}$. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_{i}=-{d\Phi (t) \over dt}=-\omega *0.03*cos(\omega t)$

Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: $u_{i}=-30*cos(\omega t)V$

Innen a feszültség effektív értéke: $U_{eff}={30 \over {\sqrt {2}}}V$

Az áram effektív értéke pedig: $I_{eff}={U_{eff} \over R}={6 \over {\sqrt {2}}}A$

95. Feladat: Zárt vezetőgyűrűben indukált áram időfüggvénye

Adott egy $R$ ellenállású vezetőgyűrű a lap síkjában. A gyűrű által határolt mágneses fluxus időfüggvénye: $\Phi (t)=\Phi _{0}+\Phi _{1}*sin(\omega t)$. Adja meg a a gyűrűben indukált áram $i(t)$ időfüggvényét, ha a fluxus a papír síkjából kifelé mutató indukció vonalak mentén pozitív értékű.

Volt egy ábra is: A lap síkjában a vezetőgyűrű, a mágneses indukcióvonalak a lap síkjára merőlegesek és a bejelölt áram referenciairánya pedig az óramutató járásával megegyező irányú.

Megoldás

Az indukálási törvény alapján, meghatározható a vezetőgyűrűben indukált feszültség. A Lenz-törvényből adódó NEGATÍV előjelet azonban most hagyjuk el, mivel most előre megadott referenciairányaink vannak. Majd a végén kiokoskodjuk, hogy szükséges-e extra mínuszjel:

$u_{i}(t)={d\Phi (t) \over dt}=\Phi _{1}*\omega *cos(\omega t)$

Ebből az áram időfüggvénye: $R={U \over I}\longrightarrow i(t)={u_{i}(t) \over R}={\Phi _{1} \over R}*\omega *cos(\omega t)$

Most nézzük meg, hogy teljesül-e a jelenlegi referenciairányokkal a Lenz-törvény. A Lenz-törvény kimondja, hogy az indukált feszültség iránya olyan kell, hogy legyen, hogy az általa létrehozott áram által keltett mágneses mező akadályozza az indukciót létrehozó folyamatot, jelen esetben a fluxus megváltozását.

Vegyük az első negyedperiódusnyi időt. Ilyenkor a mágneses indukcióvektor a lap síkjából kifelé mutat és csökkenő erősségű. Tehát az indukált áramnak olyan mágneses mezőt kell létrehoznia, hogy annak indukcióvektorai az első negyedperiódusban a lap síkjából kifelé mutassanak, hiszen így akadályozzuk a fluxus csökkenését. A kiszámolt áramidőfüggvény az első negyedperiódusban pozitív értékű, tehát egybeesik a megadott referenciairánnyal. Az óramutató járásával megegyező irányba folyó áram a jobb kéz szabály szerint olyan mágneses mezőt hoz létre, melynek indukcióvektorai a lap síkjába befelé mutatnak. Ez pont ellentétes mint amire szükségünk van, tehát szükséges egy korrekciós mínuszjel a referenciairányok miatt.

Az indukált áram időfüggvénye tehát: $i(t)=-{\Phi _{1} \over R}*\omega *cos(\omega t)$

98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség

Az xy síkon helyezkedik el egy $r=3m$ sugarú, kör alakú, zárt L görbe. A mágneses indukció a térben homogén és z irányú komponense $\Delta =40ms$ idő alatt $B=0.8T$ értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben az L görbe mentén?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_{i}=-{d\Phi (t) \over dt}=-A*{dB(t) \over dt}=-r^{2}\pi *{\bigtriangleup B \over \bigtriangleup t}=-r^{2}\pi *{B_{2}-B_{1} \over \bigtriangleup t}=-3^{2}\pi *{0-0.8 \over 0.04}=565.5V$

101. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség

Adott egy L zárt görbe a lap síkjában. A mágneses indukcióvonalak a lap síkjára merőlegesek. A görbe által határolt mágneses fluxus időfüggvénye: $\Phi (t)=\Phi _{0}*{t^{2} \over T}$, ha $0<t<T$. Mekkora lesz az indukált feszültség nagysága amikor $t=T/3$?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_{i}(t)=-{d\Phi (t) \over dt}=-{2\Phi _{0} \over T}*t$

Behelyettesítve a $t=T/3$ értéket: $u_{i}\left({T \over 3}\right)=-{2\Phi _{0} \over T}*{T \over 3}=-{2 \over 3}\Phi _{0}$

107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény

Egy $A=1.5mm^{2}$ keresztmetszetű, $l=3m$ hosszú hengeres vezetőben $I=10A$ amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos áram folyik. A behatolási mélység $\delta =9.7mm$, a fajlagos vezetőképesség pedig $\sigma =3.7*10^{7}{S \over m}$. Mennyi a vezetőben disszipált hőteljesítmény?

Megoldás

A vezető sugara: $r={\sqrt {1.5 \over \pi }}=0.691mm<<\delta$

Mivel a vezető sugara jóval kisebb mint a behatolási mélység, így a vezető vehető egy sima $l$ hosszúságú, $A$ keresztmetszetű és $\sigma$ fajlagos vezetőképességű vezetékdarabnak.

$R={1 \over \sigma }{l \over A}={1 \over 3.7*10^{7}}*{3 \over 1.5*10^{-6}}=54m\Omega$

A vezetékben disszipálódó hőteljesítmény (vigyázat, csúcsérték van megadva és nem effektív):

$P={1 \over 2}RI^{2}={1 \over 2}*0.054*10^{2}=2.7W$

109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség

Egy $r=2mm$ sugarú, hosszú hengeres vezető $\sigma =35{MS \over m}$ fajlagos vezetőképességű anyagból van, a behatolási mélység $\delta =80\mu m$. A térerősség időfüggvénye a vezető felszínén ${\vec {E}}(t)=10*cos(\omega t)*{\vec {n}}_{0}$. Itt n egy egységvektor, ami a vezető hosszanti tengelyével párhuzamos. Adja meg az áramsűrűség időfüggvényét a felülettől 2 behatolási mélységnyi távolságra!

Megoldás

Mivel: $\delta <<r$

Így a mélység (z) függvényében a térerősség komplex amplitúdójának változása: $E(z)=E_{0}*e^{-\gamma z}=E_{0}*e^{-\left(1/\delta +j/\delta \right)z}=E_{0}*e^{-z/\delta }*e^{-jz/\delta }$

A differenciális Ohm-törvény: ${\vec {J}}=\sigma *{\vec {E}}$

Ezeket egybefésülve és áttérve időtartományba: ${\vec {J}}(z,t)=Re\left\{\sigma *E_{0}*e^{-z/\delta }*e^{-jz/\delta }*e^{j\omega t}\right\}*{\vec {n}}_{0}=\sigma *E_{0}*e^{-z/\delta }*cos\left(\omega t-{z \over \delta }\right)*{\vec {n}}_{0}$

Behelyettesítés után $z=2\delta$ mélységben: ${\vec {J}}(t)=35*10^{6}*10*e^{-2\delta /\delta }*cos\left(\omega t-{2\delta \over \delta }\right)*{\vec {n}}_{0}=47.37*cos\left(\omega t-2\right)*{\vec {n}}_{0}{MA \over m^{2}}$

111. Feladat: Behatolási mélység

Vezetőben terjedő síkhullám elektromos térerőssége minden 3 mm után a felére csökken. Határozza meg a behatolási mélységet, a csillapítási tényezőt és a fázistényezőt!

Megoldás

$\gamma =\alpha +j\beta$ terjedési együttható

$\alpha$ - csillapítási tényező

$\beta$ - fázistényező

$\delta ={\frac {1}{\alpha }}$ behatolási mélység

Vezető anyagokban $\alpha =\beta$ , mivel:

$\gamma ={\sqrt {j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon )}}$, azonban vezető anyagokban $\varepsilon <<\sigma$, így a terjedési együttható: $\gamma \approx {\sqrt {j\omega \mu \sigma }}={\sqrt {j}}{\sqrt {\omega \mu \sigma }}$

${\sqrt {j}}={\sqrt {e^{j\pi /2}}}=e^{j\pi /4}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+j{\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$\gamma ={\sqrt {\frac {\omega \mu \sigma }{2}}}+j{\sqrt {\frac {\omega \mu \sigma }{2}}}$

Ebből $\delta$ számításának módja:

$\delta ={\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{\beta }}={\sqrt {\frac {2}{\omega \mu \sigma }}}$ (de most nem ezt kell használni)

A térerősség amplitúdójának nagysága a vezetőben: $E(z)=E_{0}e^{-\alpha z}=E_{0}e^{-z/\delta }$

$E_{0}e^{-(0.003\ {\text{m}})/\delta }={\frac {1}{2}}E_{0}$

$\delta =-{\frac {0.003\ {\text{m}}}{\ln {\frac {1}{2}}}}\approx 4.328\ {\text{mm}}$

$\alpha =\beta ={\frac {1}{\delta }}\approx 231\ {\frac {1}{\text{m}}}$

119. Feladat: Hullámimpedancia számítása

Egy adott $\mu _{r}=5$ relatív permeabilitású közegben síkhullám terjed $\omega =10{Mrad \over s}$ körfrekvenciával. A terjedési együttható értéke: $\gamma =j0.1{1 \over mm}$
Adja meg a közeg hullámellenállásának értékét!

Megoldás

A megoldáshoz két alapképlet ismerete szükséges a síkhullámokkal kapcsolatosan, ezek a távvezeték analógia ismeretében is egyszerűen levezethetők.

$Z_{0}={\sqrt {\frac {j\omega \mu }{\sigma +j\omega \varepsilon }}}$

$\gamma ={\sqrt {j\omega \mu *(\sigma +j\omega \varepsilon )}}$

Az első képlet gyök alatti kifejezésének csak a nevezője nem ismert. Ezt a második képletet négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk:

$(\sigma +j\omega \varepsilon )={\frac {\gamma ^{2}}{j\omega \mu }}$

Ezt behelyettesítve az első egyenlet nevezőjébe:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {(j\omega \mu )^{2}}{\gamma ^{2}}}}$

A gyökvonás elvégzése után az eredményt megadó formula:

$Z_{0}={\frac {j\omega \mu }{\gamma }}={j10^{7}*5*4\pi *10^{-7} \over j10^{2}}=0.628\Omega$

Behelyettesítés előtt ω és γ értékét alakítsuk megfelelő mértékegységre (1/s és 1/m), illetve figyeljünk hogy μ = μ₀*μ_r

143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény

Egy Hertz-dipólus az origó síkjában $\vartheta =0$ szögben áll. Írja fel az összes kisugárzott teljesítményt $\vartheta \in \left\{0,{\pi \over 2}\right\}$ tartományban a Poynting-vektor és a Hertz-dipólus irányhatásának segítségével!

Megoldás

A Hertz-dipólus által kisugárzott teljes teljesítmény:

Felhasználható egyenletek:

$S(r)={{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\rm {1}} \over {\rm {4}}}{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)^{\rm {2}}}{{{{\sin }^{2}}\vartheta } \over {r^{\rm {2}}}}{{\rm {Z}}_{\rm {0}}}$

$D=1.5$ , Hertz-dipólusra

Először is nézzük meg az irányhatás definícióját és alakítgassuk. A definícióban egy teljes gömbre számoljuk az eredményeket. Felhasználjuk, hogy a Poynting vektor térbeli átlaga, a kisugárzott teljesítmény, és egy R sugarú gömb felületének hányadosa.

${\rm {D=}}{{{{\rm {S}}_{\rm {MAX}}}(R)} \over {{{\rm {S}}_{\rm {AVG}}}(R)}}={{\max \left({{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\rm {1}} \over {\rm {4}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{{{{\sin }^{2}}\vartheta } \over {R^{\rm {2}}}}{{\rm {Z}}_{\rm {0}}}}\right)} \over {{{\rm {P}}_{\rm {sug}}} \over {{\rm {4\pi }}{{\rm {R}}^{\rm {2}}}}}}{\rm {=}}{{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\rm {1}} \over {\rm {4}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{{\rm {1}} \over {R^{\rm {2}}}}{{\rm {Z}}_{\rm {0}}}} \over {{{\rm {P}}_{\rm {sug}}} \over {{\rm {4\pi }}{{\rm {R}}^{\rm {2}}}}}}{\rm {=}}{{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{\rm {120\pi }}} \over {{{\rm {P}}_{\rm {sug}}} \over {\rm {\pi }}}}{\rm {=}}{{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{\rm {120}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}} \over {{\rm {P}}_{\rm {sug}}}}$

Átrendezzük az egyenletett a keresett sugárzott telesítményre, és felhasználjuk, hogy a Hertz dipólus irányhatása 1.5

${{\rm {P}}_{\rm {sug}}}={{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{\rm {120}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}} \over D}={{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}{\rm {120}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}} \over {1.5}}={{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{\rm {80}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)^{\rm {2}}}$

Ez a teljes gömbfelületen kisugárzott teljesítmény, de nekünk csak a $\vartheta \in \left\{0,{\pi \over 2}\right\}$ tartományon kell, ami a sugárzás felső féltere. Mivel a Hertz-dipólus tere szimmetrikus az x-y síkra, így a gömbben sugárzott teljesítmény fele pont a felső térrészben sogárzott teljesítmény lesz:

${{{\rm {P}}_{\rm {sug}}} \over 2}={{{{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{\rm {80}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}{{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)}^{\rm {2}}}} \over 2}={{{\left|{{\rm {I}}_{\rm {0}}}\right|}^{\rm {2}}} \over {\rm {2}}}{\rm {40}}{{\rm {\pi }}^{\rm {2}}}{\left({{\rm {l}} \over {\rm {\lambda }}}\right)^{\rm {2}}}$

149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény

Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>$E(r)={\frac {U_{0}}{r}}*{\vec {e_{r}}}$ (ahol ${\vec {e_{r}}}$ a radiális irányú egységvektor), <br\>$H(r)={\frac {I_{0}}{r}}*{\vec {e_{\varphi }}}$ (ahol ${\vec {e_{\varphi }}}$ a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r₁, a külső vezető belső sugara r₂, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.

Megoldás

A Poynting-vektor kifejezése: $S=E\times H\Rightarrow S(r)=E(r)*H(r)*{\vec {e_{z}}}$ (ahol ${\vec {e_{z}}}$ a z irányú egységvektor). <br\>Innen a teljesítmény: $P=\int _{S}{\vec {S}}d{\vec {A}}=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {U_{0}I_{0}}{r^{2}}}\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r=2\pi U_{0}I_{0}({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}})=2\pi U_{0}I_{0}{\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}}$