„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

340. sor:

Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.

Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.

Tehat: b = sqrt( (R / 2)2 - 4 ) = 1.5

Tehat (pitagorasz tetel, huh?):

b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye

tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0

'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!'''

== Alternativ koordinatarendszerek ==

=== Polarkoordinatak ===

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)

polarban: v = (r, fi)

Atvaltas:

x = r * cos( fi )

y = r * sin( fi )

itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog

r = sqrt( x2 + y2 )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

Jakobi determinans |J|:

|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa

A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)

Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.

ez a tipus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integralban)

=== Hengerkoordinatak ===

ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)

ez a tipus hasznos x2 + y2 + z2 esetben

|J| ugyanaz mint a polarnal.

=== Gombikoordinatak ===

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.

atvaltas:

x = r * sin( b ) * cos( fi )

y = r * sin( b ) * sin( fi )

y = r * cos( b )

r = sqrt( x2 + y2 + z2 )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D

|J| = r2 * sin( b )

A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)

'''Pelda:'''

ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ?

T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0

Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.

Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)

T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3

A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyenek a terulete kell.

Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)

x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )

y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )

Ne felejts el beszorozni |J|-vel!

atvaltas utan:

ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]

ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 228 - 48 )

@@ 340. sor: / 340. sor: @@
 Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.<br />
 Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.<br />
-Tehat: b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 4 ) = 1.5<br />
+Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
+b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 2<sup>2</sup> ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye<br />
 tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0<br />
 <br />
 '''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!'''<br />
 <br />
+== Alternativ koordinatarendszerek ==
+=== Polarkoordinatak ===
+Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
+polarban: v = (r, fi)
+Atvaltas:
+x = r * cos( fi )
+y = r * sin( fi )
+itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
+r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> )
+fi eleme [0 ; 2 * pi]
+Jakobi determinans |J|:
+|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa
+A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)
+Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.
+ez a tipus hasznos x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> esetben (amikor ilyesmi van az integralban)
+=== Hengerkoordinatak ===
+ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)
+ez a tipus hasznos x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> esetben
+|J| ugyanaz mint a polarnal.
+=== Gombikoordinatak ===
+ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.
+atvaltas:
+x = r * sin( b ) * cos( fi )
+y = r * sin( b ) * sin( fi )
+y = r * cos( b )
+r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> )
+fi eleme [0 ; 2 * pi]
+b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D
+|J| = r<sup>2</sup> * sin( b )
+A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)
+'''Pelda:'''
+ʃʃ (2 * x<sup>2</sup> + 2 * y<sup>2</sup> + 4)<sup>7</sup> dT = ?
+T: x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> <= 9, x <= 0, y >= 0
+Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.
+Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)
+T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
+A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyenek a terulete kell.
+Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)
+x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )
+y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )
+Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
+atvaltas utan:
+ʃʃ r * ( 2 * r<sup>2</sup> + 4 )<sup>7</sup> dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]
+ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 22<sup>8</sup> - 4<sup>8</sup> )