„Anal2-magic” változatai közötti eltérés
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
| 278. sor: | 278. sor: | ||
== Fourier-sorok == | == Fourier-sorok == | ||
Megoldas lepesei:<br /> | Megoldas lepesei:<br /> | ||
* fel kell rajzolni a fuggvenyt | * fel kell rajzolni a fuggvenyt | ||
* ha a fuggveny paros --> b<sub>k</sub> = 0 | * ha a fuggveny paros --> b<sub>k</sub> = 0 | ||
* ha a fuggveny paratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0 | * ha a fuggveny paratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0 | ||
* fi(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> ) | * fi(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> ) | ||
* a<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... | * a<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... | ||
* b<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... | * b<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... | ||
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot | * paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot | ||
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz | * ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz | ||
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni. | * ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni. | ||
* ki kell integralni a fuggvenyt | * ki kell integralni a fuggvenyt | ||
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be | * vissza kell helyettesiteni fi(x)-be | ||
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2 | * fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2 | ||
<br /> | <br /> | ||
== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) == | == Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) == | ||
| 303. sor: | 303. sor: | ||
<br /> | <br /> | ||
== Korintegral == | == Korintegral == | ||
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam: | Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:<br /> | ||
* amikor az alakzat egy kor | * amikor az alakzat egy kor | ||
* amikor az alakzat egy ellipszis | * amikor az alakzat egy ellipszis | ||
Az integral alakja altalaban: | Az integral alakja altalaban:<br /> | ||
ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz | ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz<br /> | ||
A tartomany alakja: | A tartomany alakja: <br /> | ||
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor | * |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor | ||
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis | * |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis | ||
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!) | Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)<br /> | ||
Itt negy eset johet szoba: | Itt negy eset johet szoba:<br /> | ||
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0 | * ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0 | ||
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral | * ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral | ||
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * pi * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0) | * ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * pi * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0) | ||
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni... | * ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni... | ||
<br /> | |||
'''Pelda:''' | '''Pelda:'''<br /> | ||
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz | ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz<br /> | ||
tartomany: |z - 2 * i| = 2 | tartomany: |z - 2 * i| = 2<br /> | ||
tehat a kozeppont = 2 * i | tehat a kozeppont = 2 * i<br /> | ||
z0 = -8 | z0 = -8<br /> | ||
r = 2 | r = 2<br /> | ||
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0 | ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0<br /> | ||
<br /> | |||
'''Pelda2:''' | '''Pelda2:'''<br /> | ||
ʃ cos( z ) / ( z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 ) dz | ʃ cos( z ) / ( z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 ) dz<br /> | ||
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5 | tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5<br /> | ||
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van. | tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.<br /> | ||
r = 5 | r = 5<br /> | ||
A z0-ok kiszamolasa: | A z0-ok kiszamolasa:<br /> | ||
z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 = (z<sup>2</sup> + 4) * (z<sup>2</sup> + 4) | z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 = (z<sup>2</sup> + 4) * (z<sup>2</sup> + 4)<br /> | ||
sqrt(z<sup>2</sup>) = -4 | sqrt(z<sup>2</sup>) = -4<br /> | ||
z<sub>1</sub> = 2 * i | z<sub>1</sub> = 2 * i<br /> | ||
z<sub>2</sub> = -2 * i | z<sub>2</sub> = -2 * i<br /> | ||
felrajzoljuk: | felrajzoljuk:<br /> | ||
http://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1jl:Elipse.svg | http://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1jl:Elipse.svg<br /> | ||
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak. | Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.<br /> | ||
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2. | Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.<br /> | ||
Tehat: b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 4 ) = 1.5 | Tehat: b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 4 ) = 1.5<br /> | ||
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0 | tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0<br /> | ||
<br /> | |||
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!''' | '''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!'''<br /> | ||
<br /> | |||