Anal2-magic

Fontos

Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul
Derivalttabla nem art :P

Alapok

Azonossagok, amiket jo ha tudsz

sin²(x) + cos²(x) = 1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
lim_x->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P
lim_x->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = lim_x->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = lim_deltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax
cosh(x) = ( e^x + e^-x ) / 2
sinh(x) = ( e^x - e^-x ) / 2

Derivalas

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g²(x) // osztas
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv
(f^-1)'(x) = 1 / ( f'( f^-1(x) ) ) // inverz fv

Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integralas

ʃ f(x) dx = F(x) + C ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C
ʃ f^a(x) * f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ e^f(x) * f'(x) dx = e^f(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesiteses integral:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesites
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz

Parcialis tortekre bontas integralas
EZT VKI LEIRHATNA IDE

Diffegyenletek (DE)

Szeparabilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = e^C ; C az integralas soran keletkezik
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Linearis DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogen altalanos megoldasa
y_ia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami
K-t visszahelyettesited y_ia-ba --> megkapod: y_konkret

DE helyettesitessel

Peldan keresztul bemutatva:
y' = 1 / (x + y)
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni.
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.
Lehetseges helyettesitesek:
u = x + y
u = y / x

Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:
u = x + y
kifejezzuk y-t:
y = u - x
lederivaljuk:
y' = u' - 1
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:
u' - 1 = 1 / u
kicsit rendezzuk:
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:
g(u) = (u + 1) / u = 0
u = -1
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.
Tovabb haladunk a megoldassal:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx
A masodik fele: x + C
Az elso fele:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C

Ezekbol:
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c

Homogen linearis, allando egyutthatos DE

Megoldas: C * e^ʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.
Pelda:
y⁽³⁾ + 2 * y⁽²⁾ + y' = 0
ʎ³ + 2 * ʎ² + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(
ʎ * ( ʎ² + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)
ʎ * ( ʎ + 1 )² = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol ʎ₂ = -1
DE 3 megoldas kell!!!
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-1 * x} + C3 * x * e^{-1 * x}

Pelda2:
y⁽³⁾ + 4 * y⁽²⁾ + 13 * y' = 0
ʎ³ + 4 * ʎ² + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et
ʎ( ʎ² + 4 * ʎ + 13 ) = 0
ʎ( (ʎ + 2)² + 9 ) = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol:
-9 = (ʎ + 2)²
-9^1/2 = ʎ + 2
-9^1/2 - 2 = ʎ
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba
-3*i - 2 = ʎ

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-2 * x} * cos(3 * x) + C3 * e^{-2 * x} * sin(3 * x)
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 * e^{5 * x} - e^{-3 * x}
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ₁ = 5
ʎ₂ = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
ʎ² + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0
ʎ² - 2 * ʎ - 15 = 0
y⁽²⁾ - 2 * y - 15 = 0