Matematika A3 - Vizsgakérdések az elégségesért

Ugyan ez már nem így működik, de attól még rengeteg hasznos fogalom, definíció és képlet fellelhető benne a szóbelihez!

Nguyen Xuan Ky, Serény György, Tóth János

BME TTK Algebra és Matematikai Analízis Tanszék

2006. december 5.

Aki elérte a 40 százalékot, az szóbelizik a kettesért. Javaslat: kapjon egy-egy kérdést, és ha kettőre válaszol, menjen át.

---

Ha tudod valamelyikre a választ, írd bele!

1. Differenciálegyenletek

1. Mit nevezünk homogén egyenletnek? Mit nevezünk homogén lineáris differenciálegyenletnek?

y'(x)+a(x)y(x)=b(x), ahol b(x)=0. Lineáris, ha a polinómfüggvény minden tagjának azonos a fokszáma. Homogén: nem szerepel konstans, vagy csak a független változót tartalmazó tag.

Amúgy meg: http://www.sosmath.com/diffeq/first/homogeneous/homogeneous.html

2. Mit nevezünk közvetelnül integrálható differenciálegyenletnek?

Ahol az előbbi egyenletben a(x)=0.

3. Mit nevezünk autonóm differenciálegyenletnek?

? G(y(x))-G(y0)=x-c ? Autonóm differenciál egyenletnek nevezzük azt a közönséges diffegy-et, amely nem függ független változóktól. http://en.wikipedia.org/wiki/Autonomous_differential_equation

4. Mit nevezünk szétválasztható változójú egyenletnek?

Általános alak: y'=g(x)*h(y).

5. Mit nevezünk elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek?

Elsőrendű: csak 1. deriváltak szerepelnek, lineáris: az ismeretlen függvénynek és deriváltjának csak 1. hatványa szerepel, és nem szerepel a szorzatuk.

6. Az állandók variálásának módszere?

Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldása az állandó variálásának módszerével kapható meg. Az inhomogén egyenlet y0 partikuláris megoldását a homogén egyenlet már ismert általános megoldásához hasonló szerkezetűnek tételezzük fel, csak az abban szereplő C állandót most egy C(x) függvénynek képzeljük. Az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve megkapjuk C(x)-et.

7. Milyen elégséges feltételt ismer kezdeti érték problémák megoldásának létezésére?

Ha a kezdeti érték feltétel Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m(0)= M e^{-kt} \,\,\, t \in \mathbb{R} } alakú. Az alábbi feltétel leszámítva a Lipschitz feltételt ha teljesül akkor létezik megoldás.

8. Milyen elégséges feltételt ismer kezdeti érték problémák megoldásának létezésére és egyértelműségére?

Cauchy-Lipschitz feltétel: ha az n+1 változós függvény az n+1 dimmenziós tér valamely zárt korlátos tartományán folytonos, és éppen a részhalmazon legfeljebb az első változót leszámítva eleget tesz a Lipschitz-feltételnek, akkor az y^(n)=(x,y,ydeivált,...,y n-1. deriváltja) differenciálegyenlethez és a tartomány egy belső pontjához a kezdeti érték probléma egyértelműen megoldható. Lipschitz feltétel: abszolutérték (f(x,y1)-f(x,y2))>=abszolutérték (y2-y1)

9. Mit nevezünk kontrakciónak?

Zsugorítást. ha d(T(x),T(y))<qd(x,y) és q[0,1[, akkor T operátor kontrakció.

10. Mi az Euler-módszer lényege?

y'(x)=f(x,y(x)) y_hullam(x0+h)=y0+hf(x0,y0) y_hullam(x0+2h)=y0(x0+h)+hf(x0,y_hullam(x0+h))

11. Milyen függvények esetén értelmezhető a Laplace-transzformáció?

Az olyan függvények esetén, ahol az a jól ismert improprius integrál létezik, és minden P esetén éppen az improprius integrál értékét adja vissza függvényértékként.

12. Számolja ki egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját!

Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mathcal{L}\left(f(x)\right) = F(p) } , akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \mathcal{L}\left(f'(x)\right) = p \cdot F(p) - f(0)}

13. Mikor mondjuk, hogy az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F(x; y(x)) + y'(x)G(x; y(x)) = 0} differenciálegyenlet egzakt?

A diffegyenlet akkor egzakt, ha F y szerinti parciális deriváltja egyenló G x szerinti parciális deriváltjával. Azaz Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial G}{\partial x}}

14. Mit nevezünk integráló tényezőnek?

Integráló tényezővel megszorozva a differenciálegyenletet, az egzakttá tehető.

15. Mit nevezünk iránymezőnek?

Az y'=f(x,y) differenciálegyenlet megoldása geometriailag a következőkéépen szemléltethető. Az f függvény értelmezési tartományának minden egyes (x,y) pontjához rendeljük hozzá a rajta átmenő y'=f(x,y) iránytangensű egyenesnek a pontot tartalmazó "kicsiny" szakaszát. Ezen szakaszok összessége a differenciálegyenlet iránymezőjét alkotja. A szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a differenciálegyenlet megoldásának geometriai képépt.

16. Mit nevezünk irányvonalnak vagy izoklínának?

Azt a görbét, amelynek a pontjaihoz azonos irányú, azaz párhuzamos vonalelemek tartoznak, izoklínának (izoklína görbének) nevezzük. Tehát az izoklína olyan vonal, amelynek minden pontjában y' értéke ugyanaz.

2. Vektoranalízis

1. A gradiens definíciója és kiszámításának módja?

A gradiens a skalártér növekedésének nagyságát és irányát adja meg.

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/b/e7bc6b383d3d3f6361661ed8bfb2ea03.png

http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient

2. A rotáció definíciója és kiszámításának módja?

A rotáció a vektortérben található hurkokat méri.

Rotáció: a deriváltoperátor vektorinvariánsának a kétszerese. Kiszámítása: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \displaystyle{} rot \rm v(x,y,z) = \left|\begin{array}{ccc}\underline{i} & \underline{j} & \underline{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z\end{array}\right| = \left(\frac{\partial v_z}{\partial_y} - \frac{\partial v_y}{\partial_z} ; \frac{\partial v_x}{\partial_z} - \frac{\partial v_z}{\partial_x} ; \frac{\partial v_y}{\partial_x} - \frac{\partial v_x}{\partial_y}\right)}

http://en.wikipedia.org/wiki/Curl

3. A divergencia definíciója és kiszámításának módja?

A divergencia a vektortérben egy pontból kiinduló vagy egy pontban összefutó erõvonalak (források és nyelõk) mennyiségi jellemzõje A deriváltoperátor skalárinvariánsa

http://upload.wikimedia.org/math/e/3/a/e3a1359fa5494e48a3691ad5bf316ef9.png

http://hu.wikipedia.org/wiki/Divergencia_%28vektoranal%C3%ADzis%29

4. A vonalintegrál definíciója és kiszámításának módja?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int\limits_r v \mathrm{d}r = \int\limits_t v(r(t)) * r'(t) \mathrm{d}t}

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

5. Adja meg a csavarvonal paraméteres alakját!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle r(t)=Rcost\underline{i} + Rsint\underline{j} + ct\underline{k} }

6. Mit nevezünk egy görbe ívhossz szerinti paraméterezésének?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s= \int_{t1}^{t2} | r'(t)| dt}

7. Mit nevezünk tenzornak?

Ha a v vektormező additív és homogén, akkor tenzornak nevezzük. A tenzor lineáris operátor=összeg és aránytartó. Vektor-vektor típusú leképezéseknél alkalmazzuk. v=rA Additív: v(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=v(x1,y1,z1)+v(x2,y2,z2)

Homogén: v(ax,ay,az)=a*v(x,y,z)

http://hu.wikipedia.org/wiki/Tenzor

8. Mit nevezünk egy tenzor skalárinvariánsának?

A mátrix rangja, a főátló elemösszege, a főátló aldeterminánsösszege, a mátrix determinánsa. Független az alapvektorrendszertől.

10. Mit nevezünk egy vektormező skalárpotenciáljának?

V vektorfüggvénynek U skalárfüggvény skalárpotenciálja, ha gradU=V

http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential

11. Mit nevezünk egy vektormező vektorpotenciáljának?

V vektorfüggvénynek U vektorfüggvény skalárpotenciálja, ha v(r)=rot(u(r))

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_potential

12. Mi jellemzi a potenciálos erőtereket?

Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle rot \underline{v}(r)=0 } akkor potenciálos, tehát zárt görbén Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \underline{v}(r) \mathrm{d}r=0. }

13. Mit nevezünk egyszeresen összefüggő tartománynak?

Olyan tartományt, melyen bármely zárt görbe belseje is része a tertománynak

14. Mit nevezünk fluxusnak?

Egy vektorfüggvény valamely felületre vonatkozó felületi integrálja a felületre vonatkozó fluxusa

http://en.wikipedia.org/wiki/Flux

16. Mit mond ki a Newton-Leibniz-tétel három dimenzióban?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_{a}^b v'(x) \mathrm{d}x = \int\limits_V div \, \underline{v} \, \mathrm{d}V = \int\limits_{F1} \, \underline{v} \, \mathrm{d}f + \int\limits_{F2} \, \underline{v} \, \mathrm{d}f = v(b) -v(a)}

Fizikai jelentése: Egy cső két végén be- és kiáramló folyadék mennyiségének különbsége a csőben keletkező és eltűnő folyadák mennyiségével egyenlő, amely nem más, mint a hosszegységenként keletkező (eltűnő) folyadékmennyiségnek, azaz a hosszegységenkénti folyadékmennyiség-változásnak a cső hosszára vett integrálja.�

17. Mit mond ki a Gauss-Osztrogradszkij-tétel?

A Gauss�-Osztogradszkij tétel a Newton-Leibniz tétel többdimenzióra való általánosítása. Egy vektormező zárt felületen vett integrálja egyenlő a vektormező divergenciájának a térfogaton vett integráljával.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \iint\limits_F \underline{v} \, dF = \iiint\limits_V div \, \underline{v} \, dV}

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

18. Mit mond ki a Green-tétel?

http://en.wikipedia.org/wiki/Green_theorem

19. Mit mond ki a Stokes-tétel?

Egy vektormező zárt vonalmenti integrálja egyenlő a vektormező rotációjának a felületen vett integráljával. (ugye ez az?)

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int\limits_G \underline{v} \, dG = \iint\limits_F rot \, \underline{v} \, dF}

http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes_theorem

20. Mi jellemzi az örvénymentes vektormezőket?

a) v potenciálos rot v(r) = 0, bármely zárt görbén vett integrál 0 b) örvénymentes c) konzervativ Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int\limits_L r dr = 0 }

21. Mi jellemzi a forrásmentes vektormezőket?

a) div v = 0 b) v vektormezo vektorpotencialja omega, ha v = rot omega c) minden zárt felületre a fluxus = 0, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \oint\oint\limits_F \underline{G} df=0}

3. Komplex függvénytan

3. Mit mondanak ki a Cauchy-Riemann egyenletek?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \displaystyle{} \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y} }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \displaystyle{} \frac{\partial U}{\partial y} = - \frac{\partial V}{\partial x} }

Szükséges, de nem elégséges feltételek z=u(x,y)+jv(x,y) totális diffhatóságára.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_Riemann_equations

4. Mikor nevezünk egy komplex függvényt regulárisnak?

Egy függvény reguláris egy pontban, ha létezik olyan környezete, melyben differenciálható (a pontban is)

http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function

5. Mikor nevezünk egy többváltozós függvényt harmonikusnak?

Ha teljesül a laplace egyenlet: deriváljuk kétsze x szerint, kétszer y szerint, és ha ezek összege 0 akkor teljesül.

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

6. Mit nevezünk egy függvény harmonikus párjának?

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_conjugate

Olyan függvényt, mellyel együtt reguláris függvényt alkot

7. Milyen függvénynek van harmonikus párja?

Ha egy függvény harmónikus T egyszeresen összefüggő tartományon, akkor van harmónikus társa t-n

11. Hogyan értelmezzük a komplex kitevős hatványokat?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^{z} = a^{x} * a^{jy} }

14. Vonalintegrálokra vonatkozó Newton–Leibniz-tétel?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \exists F: F'(z)=f(z) \,} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \forall z \in T} , ahol tetszőleges (nyílt, összefüggő) tartomány Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L \in T \Rightarrow \int f(z) dz=F(B)-F(A) }

15. Mit mond ki Cauchy tétele?

Ha f reguláris az egyszeresen összefüggő tartományon, akkor bármely T-beli egyszerű zárt görbére: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int f(z)dz=0}

16. Mit mond ki a Cauchy-féle integráltétel?

Ha f reguláris az egyszeresen összefüggő T tartományon, akkor bármely Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L \subset T } sima egyszerű zárt görbére Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int\limits_L \, f = 0} (FIXME: itt lehet, hogy az integrálforumlára gondolt?)

17. Mit nevezünk egy Laurent-sor fő részének?

Főrész: A negatív kitevőjű tagokat tartalmazó rész.

18. Mit nevezünk izolált szingularitásnak?

Olyan szingularitás (a függvény nem értelmezett pontja), amelynek tetszőlegesen kis környezetében a függvény értelmezve van.

19. Mit nevezünk megszüntethető szingularitásnak?

ha lim z>z0 f(z)=A komplex szám

20. Mit nevezünk n-edrendű pólusnak?

pólus ha lim z>z0 f(z)=végtelen, és n-ed rendű ha lim z>z0 (z-z0)^nf(z)=A!=0

21. Mit nevezünk lényeges szingularitásnak?

ha lim z>z0 f(z) nem létezik, sem véges sem végtelen határérték

22. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a megszüntethető szingularitás?

Nincs főrésze, azaz nem tartalmaz negatív kitevőjű hatványokat, tehát 0-tól szummázunk.

23. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a n-edrendű pólus?

Véges sok tagból álló főrésszel rendelkezik, vagyis n-től szummázunk.

24. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a lényeges szingularitás?

Végtelen sok tagból álló főrésze van: - végtelentől +végtelenig szummázunk

25. Mi az f függvény reziduuma az a pontban?

Res(f,a)=c^-1. A Laurent-sor c^-1 együtthatóját az f függvény z-a helyhez tartozó rezidumának nevezzük.

26. Hogyan számítható ki a reziduum a Laurent-sor együtthatóiból?

A reziduum a Laurent-sorban a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^{-1}} -es tag szorzója. Pl. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L = 2z+\frac{3}{z}+\frac{5}{z^2}+...} esetén Res=3.

27. Hogyan számítható ki a reziduum elsőrendű pólusban?

lim z>z0 (z-z0)f(f)

29. Mit mond ki a reziduumtétel?

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem

-- Robi - 2007.01.12.