FizikaKonyvFeladatok32

32.1

Egy toroidtekercsen gyűrű van átfűzve. Az S kapcsoló zárásakor a toroidon áram kezd folyni.

1. Számítsuk ki a gyűrűben indukálódott feszültséget, ha a toroidon belül a mágneses fluxus 30Tm²/s sebességgel változik.
2. Ideális toroid mágneses erőtére gyakorlatilag teljesen a tórusz belsejébe van lokalizálva, azaz a karikát mágneses erőtér nem éri. Honnan származik akkor az indukált áram?

${\frac {d\Phi }{dt}}=30Tm^{2}/s,$

$\varepsilon =-N{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=30V$

32.3

Egz R ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 fokkal átfordítjuk. Számítsuk ki, hogy mekkora átlagos $\varepsilon$ feszültség indukálódott ezalatt a hurokban.

$\varepsilon =-N{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}={\frac {d}{dt}}B*A={\frac {r^{2}\pi B}{t}}$

De mivel 180 fokkal átfordítottuk, ezért ennek a kétszeresét kell venni:

$\varepsilon =2{\frac {r^{2}\pi B}{t}}$

32.4

Egy 70 m fesztávolságú repülőgép vízszintesen 1000 km/h sebességgel az északi mágneses pólus irányában repül. A repülőgép adott helyzetében a Föld mágneses indukcióvektorának függőleges komponense 2*10^-5 T. Számítsuk ki a repülőgépszárnyak vége közötti V potenciálkülönbséget.

$\varepsilon =-Blv=2*10^{-5}*70*{\frac {1000}{3,6}}=0,388V.$

32.7

Egy 30 menetes lapos huzaltekercset hosszú, 4000 menet/m menetsűrűségű szolenoid végéhez illesztünk. A szolenoid és a huzaltekercs tengelye, és a sugara azonos R = 5 cm. Számítsuk ki mekkora a szolenoidban az áramerősség változása, ha a dróttekercsben 2mV-os feszültség indukálódik.

$\varepsilon =N{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=NA{\frac {dB}{dt}}$

$2mV=30*0,05^{2}*\pi *{\frac {d}{dt}}B$

a mágneses indukció szolenoid végén: $B={\frac {\mu _{0}*n*I}{2}}$, ahol n = 4000 menet/m

$0,002V=30*0,05^{2}*\pi *{\frac {d}{dt}}{\frac {\mu _{0}*n*I}{2}}=30*0,05^{2}*\pi *{\frac {\mu _{0}*n}{2}}*{\frac {dI}{dt}}$

így ${\frac {dI}{dt}}={\frac {0,002*2}{30*0,05^{2}*\pi *4\pi *10^{-7}*4000}}=3,38A/s$

32.8

Egy 400 menetes tekercsben 12A/s áramerősség változás hatására 28mV-os ellenfeszültség indukálódik. Mekkora a tekercs induktivitása?

$\varepsilon =-L{\frac {dI}{dt}}$

$\varepsilon =0,028V$

${\frac {dI}{dt}}=12A/s$

$L={\frac {\varepsilon }{\frac {dI}{dt}}}={\frac {0,028}{12}}=2,33mH$

32.11

Egy R sugarú áramvezető hurok középpontjában a mágneses indukcióvektor nagysága $B=\mu _{0}*I/2R$. Mekkora egy N menetű lapos tekerecs induktivitása? (Tételezzük fel, hogy B a hurok síkjában, a hurkon belül mindenütt azonos)

$L={\frac {N\Phi _{B}}{I}}={\frac {N{\frac {\mu _{0}*I}{2R}}R^{2}\pi }{I}}={\frac {N\mu _{0}R\pi }{2}}$

32.15

Egy A keresztmetszetű és l kerületű toroid két tekercsből áll: mindkettőt a tórusz teljes kerülete mentén egyenletesen csévélték fel; menetszámuk N1 és N2. a) Mekkora az önállóan használt tekercsek L1 és L2 induktivitása? b) Mekkora a két tekercs M kölcsönös induktivitása? c) Mutassuk meg, hogy M^2 = L1*L2!

Egy l kerületű toroidtekercs induktivitása: $L={\frac {\mu _{0}N^{2}A}{l}}$

$L_{1}={\frac {\mu _{0}N_{1}^{2}A}{l}}$ $L_{2}={\frac {\mu _{0}N_{2}^{2}A}{l}}$

b) részhez aki tud levezetést ne tartsa magában és írja be ide, és abból már következik a c) is

b) $\varepsilon$ és M kapcsolata: $\varepsilon _{1}=-M{\frac {dI_{2}}{dt}}$; $\varepsilon _{2}=-M{\frac {dI_{1}}{dt}}$;

M kifejezése: $M={\frac {-\varepsilon _{1}}{\frac {dI_{2}}{dt}}}$;

$\varepsilon$ másik képlet: $\varepsilon =L{\frac {dI}{dt}}$;

$M=-L_{1}{\frac {\frac {dI_{1}}{dt}}{\frac {dI_{2}}{dt}}}$

Tehát $M=-L_{1}{\frac {I_{1}}{I_{2}}}=-L_{2}{\frac {I_{2}}{I_{1}}}$

c)

Innen $M^{2}=(-L_{1}{\frac {I_{1}}{I_{2}}})(-L_{2}{\frac {I_{2}}{I_{1}}})=L_{1}L_{2}$

A feladat leírásában ez szerepel zárójelben: Ez az egyenlet csak akkor teljesül,ha bármelyik tekercs teljes fluxusa egyúttal benne van a másik tekercs belsejében is. Ezt valaki értelmezze...

-- gyoroka - 2010.10.25.

32.17

Egy l hosszúságú, A keresztmetszetű, N1 menetszámú szolenoid közepére szorosan és elektromosan szigetelve egy másik, N2 menetszámú tekercset csévélnek. Számítsuk ki a szolenoid és a tekercs kölcsönös induktivitását, elhanyagolva a tekercsvégek hatását.

Megoldás itt is van, levezetés nincs, szóval ide is lehet még írni.

Ajánlom a könyvben a 32-7-es példát. Ez a feladat számokkal és ábrával. Tömören a megoldás:

$\Phi _{B1}=\Phi _{B2}={\frac {\mu _{0}AN_{1}I_{1}}{l_{1}}}$

$M={\frac {\mu _{0}AN_{1}N_{2}I_{1}}{I_{1}l_{1}}}={\frac {\mu _{0}AN_{1}N_{2}}{l_{1}}}$

-- gyoroka - 2010.10.24.

32.18

Egy áramkör a sorba kötött 10 V-os feszültségforrásból, az S kapcsolóból, egy 50 ohm-os ellenállásból és az 5 H induktivitású tekercsből áll. Számítsuk ki azt az időtartamot, ami ahhoz szükséges, hogy az áramerősség elérje a stacionárius állapotnak megfelelő értékének a) felét, illetve b) 90%-át.

$I={\frac {\varepsilon }{R}}(1-e^{-({\frac {R}{L}})t})$

${\frac {\varepsilon }{R}}$ a stacionárius állapot áramerőssége, így

$0,5=1-e^{-({\frac {50}{5}})t}$

$t={\frac {ln(1-0,5)}{-10}}=0,069s$

A b) rész hasonlóan:

$t={\frac {ln(1-0,9)}{-10}}=0,23s$

Javítva - és () ügyben. -- gyoroka - 2010.10.24.

32.19

Egy soros RL áramkörben az áram lecsengését a $I={\frac {\varepsilon }{R}}e^{-{{\frac {R}{L}}t}}$ egyenlet írja le. a) Számítsuk ki az I(t) függvény kezdeti meredekségét! b) Mutassuk meg, hogy ha az áramerősség csökkenése a kezdeti sebességgel folytatódna (lineárisan), akkor az áramerősség éppen az időállandónak megfelelő időtartam alatt válna zérussá.

$I'(t)=-{\frac {\varepsilon }{R}}e^{-{\frac {R}{L}}t}*{\frac {R}{L}}=-{\frac {\varepsilon }{L}}e^{-{\frac {R}{L}}t}$

$I'(0)=-{\frac {\varepsilon }{L}}$

b) ezt megszorozva L/R-el, megkapjuk a stacionárius állapot áramerősségét ${\frac {\varepsilon }{R}}$.

32.23

Számítsuk ki a 3800 menet/m menetsűrűségű hosszó szolenoid közepén a mágneses tér energiasűrűségét, ha a szolenoidban áthaladó áram erőssége 4 A. Függ-e az energiasűrűség a menetek sugarától?

$u_{B}={\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}$

$B=\mu _{0}nI$

$u_{B}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\mu _{0}^{2}n^{2}I^{2}={\frac {1}{2}}*3800^{2}*4^{2}*4\pi *10^{-}7=145,16{\frac {J}{m^{3}}}$

és nem függ a menetek sugarától.

-- PBX - 2007.01.27.