Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.

← Vissza az előző oldalra – Matematika A3 villamosmérnököknek

Dr. Andai Attila által összeállított feladatsor.

1. feladat

Oldja meg a komplex számok körében a $\sinh z=i$ egyenletet. (15p)

Megoldás

$\sinh z=i$
$\sinh z=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {c}\sin {y}=i$
Ebből következik:

• $\sinh {x}\cos {y}=0$, ami $x=0$ vagy $y={\frac {\pi }{2}}+k2\pi$ számpárokra teljesül
• $\cosh {x}\sin {y}=1$, ami szintén a fenti számpárokra teljesül

tehát $z=0+i({\frac {\pi }{2}}+k2\pi ),k\in \mathbb {Z}$.

2. feladat

Mutassa meg, hogy az $u(x,y)=e^{-y}\sin x$ függvény harmonikus , és keresse meg azt a $v(x,y)$ harmonikus társat, amelynél az $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ függvényre $f(0)=0$ teljesül. (15p)

Megoldás

TODO

3. feladat

Tekintsük a $V=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|y\geqslant 0,z\geqslant 0,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 9}\right\}$ térrészt és az $f=(x,y,z)=xy^{2}z$ függvényt. Számolja ki a $\int \limits _{V}f$ térfogati integrált (20p)

Megoldás

A $V=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|y\geqslant 0,z\geqslant 0,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 9}\right\}$ térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva: $V=\left\{{(r,\varphi ,\vartheta )\in \mathbb {R} ^{3}|0\leqslant r\leqslant 3,0\leqslant \varphi \leqslant \pi ,0\leqslant \vartheta \leqslant {\frac {\pi }{2}}}\right\}$

Az $f$ függvény gömbi koordinátákkal: $f(x,y,z)=xy^{2}z=(r\sin \vartheta \cos \varphi )(r\sin \vartheta \sin \varphi )^{2}(r\cos \vartheta )$

ezzel a térrészen vett integrál:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \begin{gathered} \int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\ = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }} {3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\ \end{gathered} }

4. feladat

Oldja meg az $y''(x)+3y'(x)+2y(x)=1+e^{-x}$ differenciálegyenletet. (15p)

Megoldás

Először a tekintsük a homogén egyenletet:

$y''+3y'+2y=0$

A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:

$m^{2}+3m+2=0$

$(m+1)(m+2)=0\rightarrow m_{1}=-1;m_{2}=-2$

Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:

$y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}$

Tekintsük most az inhomogén egyenletet. Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag, a megoldást a következő formában kell keresnünk:

$y(x)=Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D$

A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása. Fejezzük ki y'-t és y-t:

$y'=-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}$

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}}

Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!

$[Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}]+3[-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2*Ce^{-2x}]+2[Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D]=1+e^{-x}$

összevonva az azonos kitevőjű tagokat:

$2D+Ae^{-x}=1+e^{-x}$

d/dx:

$-Ae^{-x}=-e^{-x}\rightarrow A=1$

x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:

$2D=1\rightarrow D=1/2$

Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

$y(x)=xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5$

5. feladat

A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az $f(z)={\bar {z}}z^{2}$ függvény ? (15p)

Megoldás

TODO

6. feladat

Oldja meg az Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. } differenciálegyenlet-rendszert az $x_{1}(0)=1,x_{2}(0)=0$ kezdeti feltételek mellett. (20p)

Megoldás

Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. } Az első egyenletetből $x_{2}$:

$x_{2}=x_{1}-{\dot {x}}_{1}$ , amiből ${\dot {x}}_{2}={\dot {x}}_{1}-{\ddot {x}}_{1}$

így a második egyenlet kifejezhető $x_{1}$-nek és deriváltjainak segítségével.