Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

$X:$ élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}x\ge 0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}x\ge 0$

$P(x\ge 2)=0.2$

$e^{-\lambda 2}=0.2$

$-\lambda 2=ln0.2$

$\lambda =-\frac{ln0.2}{2}\approx 0.8$

$m=\frac{1}{\lambda }$

$1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2}$

$e^{-0.8x}=\frac{1}{2}$

$-0.8x=ln\frac{1}{2}$

$x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86$

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

$\phi [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

$X=\sin \phi$

$F(x)=p(X<x)$

$P(\sin \phi <x)=P(\phi <\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi }{2}}{\pi }$

$f(x)=F(x{)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi }$

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a, Kérdés:

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

$X:RND{1}^2$

$Y:RND{2}^3$

$f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}0<x<1$

$f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}0<y<1$

$f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}0<x<10<y<1$

$P(X>Y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

a, Kérdés egyszerűbben

$P(RND{1}^2>RND{2}^3)=P(RND1>RND{2}^{\frac{3}{2}})=$

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

$y^{\frac{3}{2}}=x$

vagyis a

$y=x^{\frac{2}{3}}$

görbe alatti terület számítására.

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]}_0^1=\frac{3}{5}$

b, Kérdés:

$X:f1(x)=2x(0<x<1)$

$Y:f2(y)=2y(0<y<1)$

$Y:f(x,y)=4xy(0<x<1)(0<y<1)$

$P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)=$

$=\underset{A}{\int }\int 4xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x^{\frac{2}{3}}}{\int }}4xy\mathrm{d}y\mathrm{d}x$