„Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH” változatai közötti eltérés
(vitalap) (Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|Valszam_regizh}} -- Andris - 2007.12.05. ==2. ZH== ===1. Pótzh2, 2003 12 03=== Vill. B4, Vetier András kurzusa …”) |
a |
||
(9 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | {{ | + | {{Vissza|Matematika A4 - Valószínűségszámítás}} |
− | + | <div class="noautonum">__TOC__</div> | |
+ | ==1. Feladat: == | ||
+ | Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el? | ||
− | = | + | {{Rejtett |
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> X: </math> élettartam | <math> X: </math> élettartam | ||
55. sor: | 25. sor: | ||
<math> -\lambda 2=ln 0.2 </math> | <math> -\lambda 2=ln 0.2 </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 </math> |
− | \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 | ||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> m=\frac{1}{\lambda} </math> |
− | m=\frac{1}{\lambda} | ||
− | |||
<math> 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} </math> | <math> 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} </math> | ||
69. sor: | 35. sor: | ||
<math> -0.8x=ln\frac{1}{2} </math> | <math> -0.8x=ln\frac{1}{2} </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 </math> |
− | x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 | + | |
− | + | }} | |
− | + | ==2. Feladat: == | |
− | |||
− | + | Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét! | |
− | <math> \[ | + | {{Rejtett |
− | X=\sin\varphi | + | |mutatott='''Megoldás''' |
− | + | |szöveg= | |
+ | |||
+ | <math> \varphi\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] </math> | ||
+ | |||
+ | :::<math> X=\sin\varphi </math> | ||
<math> F(x)=p(X<x) </math> | <math> F(x)=p(X<x) </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} </math> |
− | P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} | ||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} </math> |
− | f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} | ||
− | |||
+ | }} | ||
+ | ==3. Feladat: == | ||
+ | Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk? | ||
− | + | {{Rejtett | |
− | == | + | |mutatott='''Megoldás''' |
− | + | |szöveg= | |
− | + | '''a, Kérdés:''' | |
+ | |||
+ | Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót. | ||
<math> X: RND1^2 </math> | <math> X: RND1^2 </math> | ||
105. sor: | 75. sor: | ||
<math> Y: RND2^3 </math> | <math> Y: RND2^3 </math> | ||
+ | :::<math> f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0<x<1 </math> | ||
+ | :::<math> f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<y<1 </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1 </math> |
− | f1(x)=\frac{1}{ | ||
− | \ | ||
− | <math> | + | ::: <math> P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x </math> |
− | |||
− | \ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''a, Kérdés egyszerűbben''' | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= </math> |
− | P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= | ||
− | |||
Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a | Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a | ||
− | <math> | + | :::<math> y^{\frac{3}{2}} =x </math> |
− | y^{\frac{3}{2}} =x | ||
− | |||
vagyis a | vagyis a | ||
− | <math> | + | :::<math> y=x^{\frac{2}{3}} </math> |
− | y=x^{\frac{2}{3}} | ||
− | |||
görbe alatti terület számítására. | görbe alatti terület számítására. | ||
− | <math> | + | :::<math> =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^1=\frac{3}{5} </math> |
− | =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} | ||
− | |||
+ | '''b, Kérdés:''' | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math> | <math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math> | ||
158. sor: | 109. sor: | ||
<math> Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | <math> Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | ||
+ | :::<math> Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | ||
− | + | :::<math> P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)= </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> | ||
− | P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> = | + | :::<math> =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= </math> |
− | <math> = | + | :::<math> =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x </math> |
+ | }} | ||
− | [[ | + | [[Kategória:Villamosmérnök]] |
A lap jelenlegi, 2014. március 13., 17:49-kori változata
Tartalomjegyzék
1. Feladat:
Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?
[math] X: [/math] élettartam
Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.
[math] f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]
[math] F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]
[math] P(x\geq2)=0.2 [/math]
[math] e^{-\lambda 2}=0.2 [/math]
[math] -\lambda 2=ln 0.2 [/math]
- [math] \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 [/math]
- [math] m=\frac{1}{\lambda} [/math]
[math] 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} [/math]
[math] e^{-0.8x}= \frac{1}{2} [/math]
[math] -0.8x=ln\frac{1}{2} [/math]
- [math] x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 [/math]
2. Feladat:
Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!
[math] \varphi\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] [/math]
- [math] X=\sin\varphi [/math]
[math] F(x)=p(X\lt x) [/math]
- [math] P(\sin\varphi\lt x)=P(\varphi\lt \arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} [/math]
- [math] f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} [/math]
3. Feladat:
Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?
a, Kérdés:
Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.
[math] X: RND1^2 [/math]
[math] Y: RND2^3 [/math]
- [math] f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
- [math] f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]
- [math] f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]
- [math] P(X\gt Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]
a, Kérdés egyszerűbben
- [math] P(RND1^2\gt RND2^3)=P(RND1\gt RND2^{\frac{3}{2}})= [/math]
Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a
- [math] y^{\frac{3}{2}} =x [/math]
vagyis a
- [math] y=x^{\frac{2}{3}} [/math]
görbe alatti terület számítására.
- [math] =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^1=\frac{3}{5} [/math]
b, Kérdés:
[math] X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1) [/math]
[math] Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]
- [math] Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1)\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]
- [math] P(X^2\gt Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}\gt Y)= [/math]
- [math] =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= [/math]
- [math] =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]