„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

121. sor:

=== Magasabbrendű DE-k ===

=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===

Megoldás: C * eʎ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.

Megoldás: C * eλ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.

'''Példa:'''

y(3) + 2 * y(2) + y' = 0

ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 ~~// nem találtam half-life jelet :(~~

λ3 + 2 * λ2 + λ = 0

ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)

λ * ( λ2 + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)

ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0

λ * ( λ + 1 )2 = 0

első feléből ʎ1 = 0

első feléből λ1 = 0

második feléből ʎ2 = -1

második feléből λ2 = -1

DE 3 megoldás kell!!!

ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat

136. sor:

'''Példa 2:'''

y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0

ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-t

λ3 + 4 * λ2 + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t

ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0

λ( λ2 + 4 * λ + 13 ) = 0

ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0

λ( (λ + 2)2 + 9 ) = 0

első feléből ʎ1 = 0

első feléből λ1 = 0

második feléből:

-9 = (ʎ + 2)2

-9 = (λ + 2)2

-91/2 = ʎ + 2

-91/2 = λ + 2

-91/2 - 2 = ʎ

-91/2 - 2 = λ

3*i - 2 = ʎ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba

3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba

-3*i - 2 = ʎ

-3*i - 2 = λ

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x)

tehát a valós rész lesz a ʎ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

'''Példa 3:'''

adott egy megoldás: 2 * e5 * x - e-3 * x

ebből kell a DE-et felírni.

ebből rögtön latjuk is, hogy ʎ1 = 5

ebből rögtön latjuk is, hogy λ1 = 5

ʎ2 = -3

λ2 = -3

tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:

(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0

(λ - 5) * (λ + 3) = 0

innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani

ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0

λ2 + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0

ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0

λ2 - 2 * λ - 15 = 0

y(2) - 2 * y - 15 = 0

168. sor:

Ebből kell a homogén DE megoldása.

a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0

yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak

yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eλ*x -os alak

Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:

itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)

187. sor:

'''Konkrét példa:'''

y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)

ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0

λ2 - 5 * λ + 6 = 0

ʎ1 = 2

λ1 = 2

ʎ2 = 3

λ2 = 3

yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x

yip = A * f(x) + B * f'(x)

@@ 121. sor: / 121. sor: @@
 === Magasabbrendű DE-k ===
 === Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
-Megoldás: C * e<sup>ʎ*x</sup> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.<br />
+Megoldás: C * e<sup>λ*x</sup> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.<br />
 '''Példa:'''<br />
 y<sup>(3)</sup> + 2 * y<sup>(2)</sup> + y' = 0<br />
-ʎ<sup>3</sup> + 2 * ʎ<sup>2</sup> + ʎ = 0 // nem találtam half-life jelet :(<br />
+λ<sup>3</sup> + 2 * λ<sup>2</sup> + λ = 0<br />
-ʎ * ( ʎ<sup>2</sup> + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)<br />
+λ * ( λ<sup>2</sup> + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)<br />
-ʎ * ( ʎ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
+λ * ( λ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
-első feléből ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
+első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
-második feléből ʎ<sub>2</sub> = -1 <br />
+második feléből λ<sub>2</sub> = -1 <br />
 DE 3 megoldás kell!!!<br />
 ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat<br />
@@ 136. sor: / 136. sor: @@
 '''Példa 2:'''<br />
 y<sup>(3)</sup> + 4 * y<sup>(2)</sup> + 13 * y' = 0<br />
-ʎ<sup>3</sup> + 4 * ʎ<sup>2</sup> + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-t<br />
+λ<sup>3</sup> + 4 * λ<sup>2</sup> + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t<br />
-ʎ( ʎ<sup>2</sup> + 4 * ʎ + 13 ) = 0<br />
+λ( λ<sup>2</sup> + 4 * λ + 13 ) = 0<br />
-ʎ( (ʎ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
+λ( (λ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
-első feléből ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
+első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
 második feléből:<br />
--9 = (ʎ + 2)<sup>2</sup><br />
+-9 = (λ + 2)<sup>2</sup><br />
--9<sup>1/2</sup> = ʎ + 2<br />
+-9<sup>1/2</sup> = λ + 2<br />
--9<sup>1/2</sup> - 2 = ʎ<br />
+-9<sup>1/2</sup> - 2 = λ<br />
-*i - 2 = ʎ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba<br />
+*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba<br />
--3*i - 2 = ʎ<br />
+-3*i - 2 = λ<br />
 <br />
 y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-2 * x</sup> * cos(3 * x) + C3 * e<sup>-2 * x</sup> * sin(3 * x)<br />
-tehát a valós rész lesz a ʎ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
+tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
 <br />
 '''Példa 3:'''<br />
 adott egy megoldás: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup><br />
 ebből kell a DE-et felírni.<br />
-ebből rögtön latjuk is, hogy ʎ<sub>1</sub> = 5<br />
+ebből rögtön latjuk is, hogy λ<sub>1</sub> = 5<br />
-ʎ<sub>2</sub> = -3<br />
+λ<sub>2</sub> = -3<br />
 tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:<br />
-(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0<br />
+(λ - 5) * (λ + 3) = 0<br />
 innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani<br />
-ʎ<sup>2</sup> + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0<br />
-ʎ<sup>2</sup> - 2 * ʎ - 15 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> - 2 * λ - 15 = 0<br />
 y<sup>(2)</sup> - 2 * y - 15 = 0<br />
 <br />
@@ 168. sor: / 168. sor: @@
 Ebből kell a homogén DE megoldása.<br />
 a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = 0<br />
-y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>ʎ*x</sup> -os alak<br />
+y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>λ*x</sup> -os alak<br />
 Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:<br />
 itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)<br />
@@ 187. sor: / 187. sor: @@
 '''Konkrét példa:'''<br />
 y<sup>(2)</sup> - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)<br />
-ʎ<sup>2</sup> - 5 * ʎ + 6 = 0<br />
+λ<sup>2</sup> - 5 * λ + 6 = 0<br />
-ʎ<sub>1</sub> = 2<br />
+λ<sub>1</sub> = 2<br />
-ʎ<sub>2</sub> = 3<br />
+λ<sub>2</sub> = 3<br />
 y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup><br />
 y<sub>ip</sub> = A * f(x) + B * f'(x)<br />