Fizika1 Kifejtendő gyakorlófeladatok megoldásokkal

Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse le differenciálással és integrálással a kapcsolatukat leíró kinematikai egyenleteket (2p)!

• Helyvektor ${\vec {r}}$, elmozdulásvektor $\Delta {\vec {r}}$, sebességvektor ${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$, gyorsulásvektor ${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$, út $s$
• Átlagsebesség $v={\frac {s}{t}}$
• A sebesség-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatti elmozdulást.
• A gyorsulás-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatt bekövetkezett sebesség-változást.

Írja fel a Newton-féle tömegvonzási törvényt (1p) a potenciális-energia függvény definíciója alapján határozza meg a potenciális energia általános kifejezését (1p). Egyszerűsítse a kifejezést arra az esetre, ha a földfelszín közelében vagyunk! (1p)

• $F=-\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}$. ahol $r$ a forrástestből a próbatestbe mutató vektor.

Adja meg a forgó mozgás alapegyenletének általános matematikai kifejezését (1p) és igazolja azt egyetlen tömegpontra a megfelelő fizikai mennyiségekkel (1p). Egyszerűsítse az alapegyenletet arra az esetre, ha szimmetrikus test a szimmetriatengelye körül forog! (1p)

• Hudson-Nelson 12. fejezet

Írja fel (1p) és a tömegközéppont definíciójának alkalmazásával igazolja (2p) a párhuzamos tengelyek tételét (Steiner-tétel)! Rajzoljon magyarázó ábrát!

• Tömegközéppontra $\theta _{s}$ ismert, vegyük a tömegközéppontot origónak.
• Az origóból kijelölünk egy x irányt, erre merőlegesen egy y irányt. X irányba a tömegközépponttól d távolságra a tehetetlenségi nyomaték $\theta _{d}=\sum m_{i}((x_{i}-d)^{2}+y_{i}^{2})$
• $\theta _{d}=\sum m_{i}((x_{i}-d)^{2}+y_{i}^{2})=\sum m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}-2dx_{i}+d^{2})=\sum m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})+\sum m_{i}(-2dx_{i}+d^{2})=\theta _{s}+\sum m_{i}(-2dx_{i}+d^{2})$
• $\theta _{d}=\theta _{s}+\sum m_{i}(d^{2})=\theta _{s}+md^{2}$

Írja fel és fogalmazza meg a munkatételt! (1p) Írja fel az x irányban egyenletesen gyorsuló tömegpontra érvényes kinematikai egyenleteket (1p) és ezek alapján vezesse le a munkatételt (1p)!

• Más nevében: kinetikus energia tétele, Eleven erő tétele
• $W={\frac {1}{2}}m\Delta v^{2}$
• Kérdés: mekkora a test végsebessége, ha $F$ erővel $s$ úton gyorsítjuk? (kezdetben a sebesség $v_{1}$, az út megtételéhez $t$ idő szügséges, a végsebesség $v_{2}$)
• $v(t)=v_{1}+at$
• $s(t)=v_{1}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$
• $t=m{\frac {v_{2}-v_{1}}{F}}$
• $s=v_{1}{\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}}+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}{\frac {m^{2}(v_{2}-v_{1})^{2}}{F^{2}}}={\frac {m}{F}}(v_{1}v_{2}-v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}-v_{1}v_{2}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2})={\frac {1}{2}}{\frac {m}{F}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$
• $s={\frac {1}{2}}{\frac {m}{F}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$
• $Fs=W={\frac {1}{2}}m\Delta v^{2}$

Tekintsünk egy rendszert, amelyet környezetétől – a konzervatív erőket kivéve – teljesen elszigetelünk. A munkatétel (1p) és a potenciális-energia függvény definíciója (1p) alapján értelmezze a rendszer mechanikai energiájának megmaradását (1p)!

• Mechanikai energiamegmaradás: ${\frac {1}{2}}mv^{2}+U_{p}=const$, ahol $U_{p}$ a potenciális energia
• Potenciálos vagy konzervatív erőtérnek olyan erőteret nevezünk, ahol egy pontból egy másik pontba elmozdítva egy testet, mindig ugyanakkora munkát kell végeznünk, bármilyen útvonalat is használunk. Ilyen erőterek például a gravitációs erőtér, elektrosztatikus erőtér, rugalmas alakváltozás stb.
• .... erőtér: $U_{p}=mgh$
• rugalmas erőtér: $U_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$
• grevitációs erőtér: $U_{p}(r)=-\gamma {\frac {Mm}{r}}$

Írja fel a fonálinga (matematikai inga) mozgásegyenletét és egyszerűsítse kis szögű kitérések esetén! (1,5p) Oldja meg a mozgásegyenletet, ha az ingát függőleges helyzetéből v0 kezdősebességgel indítjuk el! (1,5p)

• Matematikai inga: Egy ideális kötél a tetején rögzített, a végén lévő apró, tömeggel rendelkező testet kitérítjük.
• Mozgás egyenlet: Az eredő erő: $mg\cos \varphi =ma$
• $a=g\cos \varphi$
• $a=l\beta$
• $l\beta =g\sin \varphi$
• $a=-\omega _{0}^{2}l$, mivel körmozgásról beszélünk
• $\sin \alpha \approx \alpha$ kis szögekre
• $\beta =-{\frac {g}{l}}\mathrm {A}$
• $\omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}$

Adja meg (1p) és a perdületmegmaradás törvényének alkalmazásával igazolja Kepler II. törvényét (2p)! Rajzoljon magyarázó ábrát!

• Kepler 2: A vezérsugár ("bolygó és nap közötti egyenes") azonos idő alatt azonos területet súrol. Matematikailag:
  • $\Delta {\vec {A}}={\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times \Delta {\vec {r}}$
  • ${\frac {\Delta {\vec {A}}}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}=const$
• $2m{\frac {\Delta {\vec {A}}}{\Delta t}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {N}}=const$

Vízszintes tengelyű biciklikereket az elhanyagolható tömegű tengelyének egyetlen pontján madzaggal felfüggesztünk (balra). Rajzolja be a testre ható forgatónyomaték-vektort, a test középpontjának pályáját és a test perdületének megváltozását! (1p) A jobb oldali ábrán ugyanez a rendszer látható, de most a kereket gyorsan megforgattuk. Rajzolja be ismét a testre ható forgatónyomaték-vektort, a test tömegközéppontjának pályáját, a test pillanatnyi perdületét és annak megváltozását! (1p) Írja fel vektoriálisan a forgatónyomaték kifejezését, valamint a perdület és forgatónyomaték kapcsolatát leíró összefüggést! (1p)

• demonstráció