@@ 10. sor: / 10. sor: @@
 <math>sin^2(x) + cos^2(x) = 1</math><br />
 <math>cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1</math><br />
-<math>sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)</math><br />
+<math>sin(2x) = 2 \cdot  sin(x) \cdot  cos(x)</math><br />
-<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)</math><br /><br />
+<math>sin(x + y) = sin(x) \cdot  cos(y) + cos(x) \cdot  sin(y)</math><br /><br />
-<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)</math><br /><br />
+<math>sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot  cos(y) - cos(x) \cdot  sin(y)</math><br /><br />
-<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)</math><br /><br />
+<math>cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot  cos(y) + sin(x) \cdot  sin(y)</math><br /><br />
-<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)</math><br /><br />
+<math>cos(x + y) = cos(x) \cdot  cos(y) - sin(x) \cdot  sin(y)</math><br /><br />
-<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)</math> // sincos-cossin (h)<br /><br />
+<math>sinh(a+b) = sinh(a) \cdot  cosh(b) + cosh(a) \cdot  sinh(b)</math> // sincos-cossin (h)<br /><br />
-<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h)<br /><br />
+<math>cosh(a+b) = cosh(a) \cdot  cosh(b) + sinh(a) \cdot  sinh(b)</math> // coscos-sinsin (h)<br /><br />
-<math>\lim_{x->0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből<br /><br />
+<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1</math> // Analízis 1.-ből<br /><br />
-<math>\lim_{x->0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math><br /><br />
+<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1</math><br /><br />
 <math>f'(x_{0}) = \lim_{x->0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})</math><br /><br />
 <math>f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x->0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x)  - f(x_{0}) )}{\Delta x}</math><br /><br />
@@ 25. sor: / 25. sor: @@
 <br />
-=== Derivalas ===
+=== Deriválás ===
-<math>f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)</math> // konstanssal szorzás<br /><br />
+<math>f'(c \cdot  x) = c \cdot  f'(x)</math> // konstanssal szorzás<br /><br />
 <math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)</math> // összeadás<br /><br />
-<math>(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)</math> // szorzás<br /><br />
+<math>(f \cdot  g)'(x) = f'(x) \cdot  g(x) + g'(x) \cdot  f(x)</math> // szorzás<br /><br />
-<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás<br /><br />
+<math>(f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot  g(x) - g'(x) \cdot  f(x) )}{g^{2}(x)}</math> // osztás<br /><br />
-<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)</math> // összetett függvény<br /><br />
+<math>f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot  g'(x)</math> // összetett függvény<br /><br />
 <math>(f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}</math> // inverz függvény<br /><br />
 <br />
-Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) \cdot (x - x0)<br />
+Érintő egyenes egyenlete: <math>f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot  (x - x_0)</math><br />
 <br />
-=== Integralas ===
+=== Integrálás ===
-ʃ f(x) dx = F(x) + C<br />
+<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math><br /><br />
-ʃ f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C<br />
+<math>\int f( fi(x) ) \cdot  fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C</math><br /><br />
-ʃ f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1<br />
+<math>\int f^{a}(x) \cdot  f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C</math> // a != -1<br /><br />
-ʃ e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C<br />
+<math>\int e^{f(x)} \cdot  f'(x) dx = e^{f(x)} + C</math><br /><br />
-ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C<br />
+<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C</math><br /><br />
-ʃ f' \cdot g dx = f \cdot g - ʃ f\cdotg' // parcialis integralas<br />
+<math>\int f' \cdot  g dx = f \cdot  g - \int f\cdot  g'</math> // parciális integrálás<br /><br />
-ʃ (a \cdot x + b) dx = F(a \cdot x + b) / a + C // a != 0<br />
+<math>\int (a \cdot  x + b) dx = \frac{F(a \cdot  x + b)}{a} + C</math> // a != 0<br /><br />
 <br />
-'''Helyettesiteses integral:'''<br />
+'''Helyettesítéses integrál:'''<br />
-ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P<br />
+<math>\int f(x) dx</math> // Ez egy bonyolult integrál<br />
-u = f(x) // ez lesz a helyettesites<br />
+<math>u = f(x)</math> // Ez lesz a helyettesítés<br />
-du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani<br />
+<math>du = f'(x)</math> // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani<br />
-ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz<br />
+<math>\int \frac{u}{f'(x)} du</math> = kijön valami --> visszahelyettesítesz<br />
 <br />
-'''Parcialis tortekre bontas integralas'''<br />
+'''Parciális törtekre bontással való integrálás'''<br />
-'''EZT VKI LEIRHATNA IDE'''<br />
+'''WIP'''<br />
 <br />
-== Diffegyenletek (DE) ==
+== Differenciálegyenletek (DE) ==
-=== Elsorendu DE-k ===
+=== Elsőrendű DE-k ===
-=== Szeparabilis DE ===
+=== Szeparábilis DE-k ===
-y'(x) = g(y) \cdot f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!<br />
+<math>y'(x) = g(y) \cdot  f(x)</math> // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x)<br />
-Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0<br />
+Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0<br />
-g(y) = 0<br />
+<math>g(y) = 0</math><br />
-Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!<br />
+Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek!<br />
 <br />
-ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx<br />
+<math>\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx</math><br /><br />
-ebbol kijon: y = K \cdot h(x) // itt a K = e^{C} ; C az integralas soran keletkezik<br />
+Ebből kijön, hogy: <math>y = K \cdot  h(x)</math> // itt a <math>K = e^{C}</math> ; C az integrálás során keletkezik<br />
-neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.<br />
+Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták.<br />
+=== Lineáris DE-k ===
+<math>y'(x) + g(x) \cdot  y = f(x) </math>// ilyen alakban kell keresni<br /><br />
+<math>y'(x) + g(x) \cdot  y = 0 </math>// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható<br /><br />
+<math>y = K \cdot  h(x) </math> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is<br /><br />
+<math>K(x) = \int f(x) / h(x) dx</math><br />
+//inhomogén általános megoldása<br />
+<math>y_{ia} = K \cdot  h(x) + K(x) \cdot  h(x)</math> // homogén + inhomogén partikuláris megoldás<br />
+Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: <math>K = valami</math><br />
+K-t visszahelyettesíted <math>y^{ia}</math>-ba --> megkapod: <math>y^{konkret}</math><br />
 <br />
-=== Linearis DE ===
+=== DE helyettesítéssel ===
-y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) // ilyen alakban kell keresni<br />
+'''Példán keresztül bemutatva:'''<br />
-y'(x) + g(x) \cdot y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato<br />
+<math>y' = \frac{1}{(x + y)}</math><br />
-y = K \cdot h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is<br />
+Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni <br />
-K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx<br />
+Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések:<br />
-//inhomogen altalanos megoldasa<br />
+<math>u = x + y</math><br /><br />
-y^{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas<br />
+<math>u = y / x</math><br />
-Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami<br />
-K-t visszahelyettesited y^{ia}-ba --> megkapod: y^{konkret}<br />
 <br />
-=== DE helyettesitessel ===
+Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:<br />
-'''Peldan keresztul bemutatva:'''<br />
+<math>u = x + y</math><br />
-y' = 1 / (x + y)<br />
+kifejezzük y-t:<br />
-ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. <br />
+<math>y = u - x</math><br />
-Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.<br />
+lederiváljuk:<br />
-Lehetseges helyettesitesek: <br />
+<math>y' = u' - 1</math><br />
-u = x + y<br />
+Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk:<br />
-u = y / x<br />
+<math>u' - 1 = \frac{1}{u}</math><br />
+kicsit rendezzük:<br />
+<math>u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u</math><br />
+Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.<br />
+Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást:<br />
+<math>g(u) = \frac{u+1}{u} = 0</math><br /><br />
+<math>u = -1</math><br />
+Tehát visszahelyettesítve: <math>y = -1 - x</math> egy megoldása lesz a DE-nek.<br />
+Tovább haladunk a megoldással:<br />
+<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx</math><br />
+A második fele: <math>x + C</math><br />
+Az első fele:<br />
+<math>\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C</math><br />
 <br />
-Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:<br />
+Ezekből:<br />
-u = x + y<br />
+<math>u - ln| u + 1 | = x + C</math>--> visszahelyettesítünk<br /><br />
-kifejezzuk y-t:<br />
+<math>x + y - ln| x + y + 1 | = x + c</math><br />
-y = u - x<br />
-lederivaljuk:<br />
-y' = u' - 1<br />
-Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:<br />
-u' - 1 = 1 / u<br />
-kicsit rendezzuk:<br />
-u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u<br />
-Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.<br />
-Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:<br />
-g(u) = (u + 1) / u = 0<br />
-u = -1<br />
-Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.<br />
-Tovabb haladunk a megoldassal:<br />
-ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx<br />
-A masodik fele: x + C<br />
-Az elso fele:<br />
-ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C<br />
-<br />
-Ezekbol:<br />
-u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk<br />
-x + y - ln| x + y + 1 | = x + c<br />
 <br />
-=== Magasabbrendu DE-k ===
+=== Magasabbrendű DE-k ===
-=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
+=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
-Megoldas: C \cdot e^{ʎ\cdotx} alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.<br />
+Megoldás: <math>C \cdot  e^{\lambda\cdot  x}</math> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű.<br />
-'''Pelda:'''<br />
+'''Példa:'''<br />
-y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0<br />
+<math>y^{(3)} + 2 \cdot  y^{(2)} + y' = 0</math><br /><br />
-ʎ^{3} + 2 \cdot ʎ^{2} + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(<br />
+<math>\lambda ^{3} + 2 \cdot  \lambda ^{2} + \lambda  = 0</math> <br /><br />
-ʎ \cdot ( ʎ^{2} + 2 \cdot ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)<br />
+<math>\lambda  \cdot  ( \lambda ^{2} + 2 \cdot  \lambda  + 1 ) = 0</math> // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)<br /><br />
-ʎ \cdot ( ʎ + 1 )^{2} = 0<br />
+<math>\lambda  \cdot  ( \lambda  + 1 )^{2} = 0</math><br /><br />
-elso felebol ʎ^{1} = 0<br />
+első feléből <math>\lambda ^{1} = 0</math><br />
-masodik felebol ʎ^{2} = -1 <br />
+második feléből <math>\lambda ^{2} = -1</math><br />
-DE 3 megoldas kell!!!<br />
+DE 3 megoldás kell!!!<br />
-ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat<br />
+ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat<br />
 <br />
-y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}<br />
+<math>y^{h} = C_1 \cdot  e^{0 \cdot  x} + C_2 \cdot  e^{-1 \cdot  x} + C_3 \cdot  x \cdot  e^{-1 \cdot  x}</math><br />
 <br />
-'''Pelda2:'''<br />
+'''Példa 2:'''<br />
-y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0<br />
+<math>y^{(3)} + 4 \cdot  y^{(2)} + 13 \cdot  y' = 0</math><br /><br />
-ʎ^{3} + 4 \cdot ʎ^{2} + 13 \cdot ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et<br />
+<math>\lambda ^{3} + 4 \cdot  \lambda ^{2} + 13 \cdot  \lambda  = 0</math> // kiemelsz \lambda -et<br /><br />
-ʎ( ʎ^{2} + 4 \cdot ʎ + 13 ) = 0<br />
+<math>\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot  \lambda  + 13 ) = 0</math><br /><br />
-ʎ( (ʎ + 2)^{2} + 9 ) = 0<br />
+<math>\lambda ( (\lambda  + 2)^{2} + 9 ) = 0</math><br /><br />
-elso felebol ʎ^{1} = 0<br />
+elso felebol <math>\lambda ^{1} = 0</math><br />
 masodik felebol:<br />
--9 = (ʎ + 2)^{2}<br />
+<math>-9 = (\lambda  + 2)^{2}<</math><br />br />
--9^{1/2} = ʎ + 2<br />
+<math>-9^{1/2} = \lambda  + 2</math><br /><br />
--9^{1/2} - 2 = ʎ<br />
+<math>-9^{1/2} - 2 = \lambda </math><br /><br />
-\cdoti - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba<br />
+<math>3\cdot i - 2 = \lambda </math> //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba<br /><br />
--3\cdoti - 2 = ʎ<br />
+<math>-3\cdot i - 2 = \lambda </math><br />
 <br />
-y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)<br />
+<math>y^{h} = C1 \cdot  e^{0 \cdot  x} + C2 \cdot  e^{-2 \cdot  x} \cdot  cos(3 \cdot  x) + C3 \cdot  e^{-2 \cdot  x} \cdot  sin(3 \cdot  x)</math><br />
-tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje<br />
+Tehát a valós rész lesz a <math>\lambda</math> , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
 <br />
 '''Pelda3:'''<br />
-adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x}<br />
+adott egy megoldas: 2 \cdot  e^{5 \cdot  x} - e^{-3 \cdot  x}<br />
 ebbol kell a DE-et felirni.<br />
-ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ^{1} = 5<br />
+ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5<br />
-ʎ^{2} = -3<br />
+\lambda ^{2} = -3<br />
 tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:<br />
-(ʎ - 5) \cdot (ʎ + 3) = 0<br />
+(\lambda  - 5) \cdot  (\lambda  + 3) = 0<br />
 innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani<br />
-ʎ^{2} + 3 \cdot ʎ - 5 \cdot ʎ - 15 = 0<br />
+\lambda ^{2} + 3 \cdot  \lambda  - 5 \cdot  \lambda  - 15 = 0<br />
-ʎ^{2} - 2 \cdot ʎ - 15 = 0<br />
+\lambda ^{2} - 2 \cdot  \lambda  - 15 = 0<br />
-y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0<br />
+y^{(2)} - 2 \cdot  y - 15 = 0<br />
 <br />
 === Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
 '''absztrakt pelda:'''<br />
-a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x)<br />
+a(x) \cdot  y^{(2)} + b(x) \cdot  y' + c(x) \cdot  y = f(x)<br />
 Ebbol kell a homogen DE megoldasa.<br />
-a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0<br />
+a(x) \cdot  y^{(2)} + b(x) \cdot  y' + c(x) \cdot  y = 0<br />
-y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{ʎ\cdotx} -os alak<br />
+y^{h} = C1 \cdot  y1(x) + C2 \cdot  y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak<br />
 Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:<br />
 itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)<br />
-c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x)<br />
+c \cdot  | y^{ip} = C1 \cdot  y1(x) + C2 \cdot  y2(x)<br />
-b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x)<br />
+b \cdot  | y'^{ip} = C1' \cdot  y1(x) + C2 \cdot  y2'(x) + C1' \cdot  y1(x) + C2 \cdot  y2'(x)<br />
-// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0<br />
+// note: C1' \cdot  y1(x) + C2 \cdot  y2'(x) = 0<br />
-a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x)<br />
+a \cdot  | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot  y1'(x) + C1 \cdot  y1^{(2)}(x) + C2' \cdot  y2'(x) + C2 \cdot  y2^{(2)}(x)<br />
 ezt C1, C2-re kell megoldani.<br />
 ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
@@ 171. sor: / 169. sor: @@
 '''Specialis f(x) esetek:'''<br />
 itt A, B^{i} ismeretlenek<br />
-f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x}<br />
+f(x) = K \cdot  e^{a \cdot  x} --> y^{ip} = A \cdot  e^{a \cdot  x}<br />
 f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0}<br />
-f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is!<br />
+f(x) = K^{1} \cdot  sin(a \cdot  x) --> y^{ip} = A \cdot  sin(a \cdot  x) + B \cdot  cos(a \cdot  x) // tehat bejon egy cos(a \cdot  x) is!<br />
-f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is!<br />
+f(x) = K^{2} \cdot  cos(b \cdot  x) --> y^{ip} = A \cdot  cos(b \cdot  x) + B \cdot  sin(b \cdot  x) // tehat bejon egy sin(b \cdot  x) is!<br />
 <br />
 '''Konkret pelda:'''<br />
-y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x)<br />
+y^{(2)} - 5 \cdot  y' + 6 \cdot  y = 2 \cdot  sin(2 \cdot  x)<br />
-ʎ^{2} - 5 \cdot ʎ + 6 = 0<br />
+\lambda ^{2} - 5 \cdot  \lambda  + 6 = 0<br />
-ʎ^{1} = 2<br />
+\lambda ^{1} = 2<br />
-ʎ^{2} = 3<br />
+\lambda ^{2} = 3<br />
-y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x}<br />
+y^{h} = C1 \cdot  e^{2 \cdot  x} + C2 \cdot  e^{3 \cdot  x}<br />
-y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x)<br />
+y^{ip} = A \cdot  f(x) + B \cdot  f'(x)<br />
 <br />
 // annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)<br />
 // ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van!<br />
-// tehat y^{ip} \cdot= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni<br />
+// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni<br />
 // magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal<br />
-\cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x)<br />
+\cdot  | y^{ip} = A \cdot  sin(2 \cdot  x) + B \cdot  cos(2 \cdot  x)<br />
--5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x)<br />
+-5 \cdot  | y'^{ip} = 2 \cdot  A \cdot  cos(2 \cdot  x) - 2 \cdot  B \cdot  sin(2 \cdot  x)<br />
-\cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x)<br />
+\cdot  | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot  A \cdot  sin(2 \cdot  x) - 4 \cdot  B \cdot  cos(2 \cdot  x)<br />
 // magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.<br />
-sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
+sin(2 \cdot  x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
-= 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A<br />
+= 6 \cdot  A + 5 \cdot  2 \cdot  B - 4 \cdot  A<br />
-cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
+cos(2 \cdot  x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
-= 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B<br />
+= 6 \cdot  B - 5 \cdot  2 \cdot  A - 4 \cdot  B<br />
 ezekbol:<br />
 A = 1 / 26<br />
 B = 5 / 26<br />
-y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x)<br />
+y^{ia} = C1 \cdot  e^{2 \cdot  x} + C2 \cdot  e^{3 \cdot  x} + (1 / 26) \cdot  sin(2 \cdot  x) + (5 / 26) \cdot  cos(2 \cdot  x)<br />
 <br />
@@ 219. sor: / 217. sor: @@
 megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0<br />
 '''pelda:'''<br />
-f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2)<br />
+f(n) = 4 \cdot  f \cdot  (n - 1) - 3 \cdot  f \cdot  (n - 2)<br />
 ebbol:<br />
-q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2}<br />
+q^{n} = 4 \cdot  q^{n - 1} - 3 \cdot  q^{n - 2}<br />
 a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.<br />
-q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku<br />
+q^{2} = 4 \cdot  q - 3 --> masodfoku<br />
 q^{1} = 1<br />
 q^{2} = 3<br />
 ebbol:
-f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n}<br />
+f(n) = C1 \cdot  1^{n} + C2 \cdot  3^{n}<br />
 Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:<br />
-f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel)<br />
+f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot  1, n > N (veges sok kivetel)<br />
 tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:<br />
 C2 = 0<br />
@@ 238. sor: / 236. sor: @@
 Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.<br />
 f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:<br />
-<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k </math> <br />
+<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot  (x - x0)^k </math> <br />
 tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.<br />
@@ 246. sor: / 244. sor: @@
 <math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> <br />
 <math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> <br />
-<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k  \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> <br />
+<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot  x^k  \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> <br />
-<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1}   \rightarrow KT: x \in R</math><br />
+<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot  k + 1)!} \cdot  x^{2 \cdot  k + 1}   \rightarrow KT: x \in R</math><br />
-<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k }   \rightarrow KT: x \in R </math><br />
+<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot  k)!} \cdot  x^{2 \cdot  k }   \rightarrow KT: x \in R </math><br />
-<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1}   \rightarrow KT: x \in R </math><br />
+<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot  k+1)!} \cdot  x^{2 \cdot  k + 1}   \rightarrow KT: x \in R </math><br />
-<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k }  \rightarrow KT: x \in R </math><br />
+<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot  k)!} \cdot  x^{2 \cdot  k }  \rightarrow KT: x \in R </math><br />
 === Lagrange-hiba becsles ===
 Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.<br />
 xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)<br />
-Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1}<br />
+Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot  (x - xi)^{n + 1}<br />
 '''Pelda (keresztrol):'''<br />
 y' = sin( y ) + 2 + x<br />
@@ 262. sor: / 260. sor: @@
 felso becsles a hibara?<br />
 y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!<br />
-y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1<br />
+y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot  y' + 1 = cos( 1 ) \cdot  ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1<br />
-T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi)<br />
+T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot  (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot  (x - pi)<br />
-y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!<br />
+y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot  (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!<br />
 letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.<br />
-hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
+hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot  (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
 tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1<br />
 <br />
@@ 288. sor: / 286. sor: @@
 == Fourier-sorok ==
 Megoldas lepesei:<br />
-\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt
+\cdot  fel kell rajzolni a fuggvenyt
-\cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
+\cdot  ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0
-\cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
+\cdot  ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0
-\cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} )
+\cdot  fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot  x) + sin(k \cdot  x)} )
-\cdot a^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
+\cdot  a^{k} = 1 / pi \cdot  \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot  cos(k \cdot  x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
-\cdot b^{k} = 1 / pi \cdot ʃ^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
+\cdot  b^{k} = 1 / pi \cdot  \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot  sin(k \cdot  x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
-\cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
+\cdot  paratlan \cdot  paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
-\cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
+\cdot  ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
-\cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
+\cdot  ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
-\cdot ki kell integralni a fuggvenyt
+\cdot  ki kell integralni a fuggvenyt
-\cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
+\cdot  vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
-\cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
+\cdot  fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 <br />
 == Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
 Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.<br />
-gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok<br />
+gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot  i + f '^{y}(P0) \cdot  j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok<br />
 f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. <br />
 Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.<br />
-df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)<br />
+df/de|P0 = gradf(P0) \cdot  e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)<br />
 max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza<br />
 a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod<br />
@@ 313. sor: / 311. sor: @@
 Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D<br />
 <br />
-f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) +  f(x^{0},y^{0}) = z<br />
+f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot  (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot  (y - y^{0}) +  f(x^{0},y^{0}) = z<br />
 <br />
@@ 357. sor: / 355. sor: @@
 == Korintegral ==
 Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:<br />
-\cdot amikor az alakzat egy kor
+\cdot  amikor az alakzat egy kor
-\cdot amikor az alakzat egy ellipszis
+\cdot  amikor az alakzat egy ellipszis
 Az integral alakja altalaban:<br />
-ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz<br />
+\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz<br />
 A tartomany alakja: <br />
-\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
+\cdot  |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
-\cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
+\cdot  |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
 Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)<br />
 Itt negy eset johet szoba:<br />
-\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
+\cdot  ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0
-\cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
+\cdot  ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
-\cdot ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0)
+\cdot  ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot  pi \cdot  i) / n! \cdot  f^{(n)}(z0)
-\cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
+\cdot  ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
 <br />
 '''Pelda:'''<br />
-ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz<br />
+\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz<br />
-tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2<br />
+tartomany: |z - 2 \cdot  i| = 2<br />
-tehat a kozeppont = 2 \cdot i<br />
+tehat a kozeppont = 2 \cdot  i<br />
 z0 = -8<br />
 r = 2<br />
-ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0<br />
+ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0<br />
 <br />
 '''Pelda2:'''<br />
-ʃ cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz<br />
+\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot  z^{2} + 16 ) dz<br />
 tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5<br />
 tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.<br />
 r = 5<br />
 A z0-ok kiszamolasa:<br />
-z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4)<br />
+z^{4} + 8 \cdot  z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot  (z^{2} + 4)<br />
 sqrt(z^{2}) = -4<br />
-z^{1} = 2 \cdot i<br />
+z^{1} = 2 \cdot  i<br />
-z^{2} = -2 \cdot i<br />
+z^{2} = -2 \cdot  i<br />
 felrajzoljuk:<br />
 http://i.imgur.com/oon9cwS.png<br />
@@ 395. sor: / 393. sor: @@
 Tehat (pitagorasz tetel, huh?):
 b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye<br />
-tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0<br />
+tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0<br />
 <br />
 '''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!'''<br />
@@ 404. sor: / 402. sor: @@
 polarban: v = (r, fi)<br />
 Atvaltas:<br />
-x = r \cdot cos( fi )<br />
+x = r \cdot  cos( fi )<br />
-y = r \cdot sin( fi )<br />
+y = r \cdot  sin( fi )<br />
 itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog<br />
 r = sqrt( x^{2} + y^{2} )<br />
-fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]<br />
+fi eleme [0 ; 2 \cdot  pi]<br />
 Jakobi determinans |J|:<br />
 |matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa<br />
@@ 423. sor: / 421. sor: @@
 ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.<br />
 atvaltas:<br />
-x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi )<br />
+x = r \cdot  sin( b ) \cdot  cos( fi )<br />
-y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi )<br />
+y = r \cdot  sin( b ) \cdot  sin( fi )<br />
-z = r \cdot cos( b )<br />
+z = r \cdot  cos( b )<br />
 r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} )<br />
-fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]<br />
+fi eleme [0 ; 2 \cdot  pi]<br />
 b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D<br />
-|J| = r^{2} \cdot sin( b )<br />
+|J| = r^{2} \cdot  sin( b )<br />
 A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)<br />
 <br />
 '''Pelda:'''<br />
-ʃʃ (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ?<br />
+\int\int (2 \cdot  x^{2} + 2 \cdot  y^{2} + 4)^{7} dT = ?<br />
 T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0<br />
 Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.<br />
@@ 440. sor: / 438. sor: @@
 A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell.<br />
 Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)<br />
-x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi )<br />
+x = r \cdot  cos( fi ) = 3 \cdot  cos( fi )<br />
-y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi )<br />
+y = r \cdot  sin( fi ) = 3 \cdot  sin( fi )<br />
 Ne felejts el beszorozni |J|-vel!<br />
 atvaltas utan:<br />
-ʃʃ r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]<br />
+\int\int r \cdot  ( 2 \cdot  r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]<br />
-ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} )<br />
+ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot  ( 22^{8} - 4^{8} )<br />
 <br />
 '''Pelda2:'''<br />
 Terfogatszamitasos integral. <br />
 T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} )<br />
-Ilyenkor az integralt ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| )<br />
+Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| )<br />
 T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz.<br />
 Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb)<br />
@@ 457. sor: / 455. sor: @@
 R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo.<br />
 Tehat az integral a kovetkezo lesz:<br />
-ʃʃʃ r dzdrdfi, a tartomany:<br />
+\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany:<br />
 z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz.<br />
 r: [0 ; 2]<br />
-fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk.<br />
+fi: [0 ; 2 \cdot  pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk.<br />
 Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki.<br />
 <br />
 '''Pelda3:'''<br />
 Tartomanycseres integral.<br />
-ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy<br />
+\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy<br />
 T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]<br />
 Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz. <br />
 Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel:<br />
-kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2}<br />
+kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot  x)^{2}<br />
 Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira)<br />
 Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.<br />
 Tehat az integral a kovetkezo lesz:<br />
-ʃʃ (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx<br />
+\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx<br />
-T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}]<br />
+T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot  x)^{2}]<br />
 Innen ez is siman kiintegralhato.<br />
 <br />
@@ 480. sor: / 478. sor: @@
 == Komplex fuggvenytan ==
 === Komplex szamok ===
-z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1)<br />
+z = x + i \cdot  y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1)<br />
 f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0<br />
 <br />
 '''Azonossagok:'''<br />
 |z| = sqrt( x^{2} + y^{2} )<br />
-/z = x - i \cdot y // konjugalt<br />
+/z = x - i \cdot  y // konjugalt<br />
-|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2|<br />
+|z1 \cdot  z2| = |z1| \cdot  |z2|<br />
 |z1 / z2| = |z1| / |z2|<br />
-|z|^{2} = z \cdot /z<br />
+|z|^{2} = z \cdot  /z<br />
 |z| = |/z|<br />
 arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi<br />
@@ 494. sor: / 492. sor: @@
 <br />
 '''Trigonometrikus alak:'''<br />
-z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog<br />
+z = r \cdot  ( cos(fi) + i \cdot  sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog<br />
 r = |z|<br />
 fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]<br />
 <br />
 '''Exponencialis alak:'''<br />
-z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott)<br />
+z = r \cdot  e^{fi \cdot  i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott)<br />
 <br />
 '''Komplex szorzas:'''<br />
-z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i}<br />
+z1 \cdot  z2 = r1 \cdot  r2 \cdot  ( cos(fi + b) + i \cdot  sin(fi + b) ) = r1 \cdot  r2 \cdot  e^{(fi + b) \cdot  i}<br />
 <br />
 '''Osztas:'''<br />
-z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i}<br />
+z1 / z2 = r1 / r2 \cdot  ( cos(fi - b) + i \cdot  sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot  e^{(fi - b) \cdot  i}<br />
 <br />
 '''Hatvanyozas:'''<br />
-z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) )<br />
+z^{n} = r^{n} \cdot  ( cos(fi \cdot  n) + i \cdot  sin(fi \cdot  n) )<br />
 <br />
 '''Gyokvonas:'''<br />
-z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) )<br />
+z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot  e^{( (fi + 2 \cdot  k \cdot  pi) / n ) \cdot  i} = r^{1 / n} \cdot  ( cos( (fi + 2 \cdot  k \cdot  pi) / n ) + i \cdot  sin( (fi + 2 \cdot  k \cdot  pi) / n ) )<br />
 <br />
 '''Euler-formula:'''<br />
-e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot!<br />
+e^{i \cdot  fi} = cos(fi) + i \cdot  sin(fi) // erre nezz feladatot!<br />
 <br />
 === Harmonikus fuggvenyek ===
-f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny)<br />
+f(z) = u(x, y) + i \cdot  v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny)<br />
 Azonossagok:<br />
 u'x = v'y<br />

Hegyi Zsolt Gábor