Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.

← Vissza az előző oldalra – Matematika A3 villamosmérnököknek

Dr. Andai Attila által összeállított feladatsor.

1. feladat

Oldja meg a komplex számok körében a $\sinh z=i$ egyenletet. (15p)

Megoldás

$\sinh z=i$
$\sinh z=\sinh x\cos y+i\cosh c\sin y=i$
Ebből következik:

• $\sinh x\cos y=0$, ami $x=0$ vagy $y=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ számpárokra teljesül
• $\cosh x\sin y=1$, ami szintén a fenti számpárokra teljesül

tehát $z=0+i(\frac{\pi }{2}+k2\pi ),k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$.

2. feladat

Mutassa meg, hogy az $u(x,y)=e^{-y}\sin x$ függvény harmonikus , és keresse meg azt a $v(x,y)$ harmonikus társat, amelynél az $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ függvényre $f(0)=0$ teljesül. (15p)

Megoldás

TODO

3. feladat

Tekintsük a $V=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|y⩾0,z⩾0,x^2+y^2+z^2⩽9\right\}$ térrészt és az $f=(x,y,z)=x{y}^{2}z$ függvényt. Számolja ki a $\underset{V}{\int }f$ térfogati integrált (20p)

Megoldás

A $V=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|y⩾0,z⩾0,x^2+y^2+z^2⩽9\right\}$ térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva: $V=\left\{(r,\phi ,\vartheta )\in {\mathbb{ℝ}}^3|0⩽r⩽3,0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\vartheta ⩽\frac{\pi }{2}\right\}$

Az $f$ függvény gömbi koordinátákkal: $f(x,y,z)=x{y}^{2}z=(r\sin \vartheta \cos \phi )(r\sin \vartheta \sin \phi {)}^2(r\cos \vartheta )$

ezzel a térrészen vett integrál:

Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \begin{gathered} \int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\ = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }} {3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\ \end{gathered} }

4. feladat

Oldja meg az $y^{″}(x)+3y^{\prime }(x)+2y(x)=1+e^{-x}$ differenciálegyenletet. (15p)

Megoldás

Először a tekintsük a homogén egyenletet:

$y^{″}+3y^{\prime }+2y=0$

A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:

$m^2+3m+2=0$

$(m+1)(m+2)=0\to m_1=-1;m_2=-2$

Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:

$y(x)=c_1{e}^{-x}+c_2{e}^{-2x}$

Tekintsük most az inhomogén egyenletet. Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag, a megoldást a következő formában kell keresnünk:

$y(x)=Ax{e}^{-x}+B{e}^{-x}+C{e}^{-2x}+D$

A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása. Fejezzük ki y'-t és y-t:

$y^{\prime }=-Ax{e}^{-x}+A{e}^{-x}-2C{e}^{-2x}$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}}

Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!

$[Ax{e}^{-x}-2A{e}^{-x}+4C{e}^{-2x}]+3[-Ax{e}^{-x}+A{e}^{-x}-2*C{e}^{-2x}]+2[Ax{e}^{-x}+B{e}^{-x}+C{e}^{-2x}+D]=1+e^{-x}$

összevonva az azonos kitevőjű tagokat:

$2D+A{e}^{-x}=1+e^{-x}$

d/dx:

$-A{e}^{-x}=-e^{-x}\to A=1$

x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:

$2D=1\to D=1/2$

Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

$y(x)=x{e}^{-x}+c_1{e}^{-x}+c_2{e}^{-2x}+0.5$

5. feladat

A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az $f(z)=\overline{z}{z}^2$ függvény ? (15p)

Megoldás

TODO

6. feladat

Oldja meg az Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. } differenciálegyenlet-rendszert az $x_1(0)=1,x_2(0)=0$ kezdeti feltételek mellett. (20p)

Megoldás

Értelmezés sikertelen (ismeretlen „\begin{gathered}” függvény): {\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. } Az első egyenletetből $x_2$:

$x_2=x_1-{\dot{x}}_1$ , amiből ${\dot{x}}_2={\dot{x}}_1-{\ddot{x}}_1$

így a második egyenlet kifejezhető $x_1$-nek és deriváltjainak segítségével.