„Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek” változatai közötti eltérés
a David14 átnevezte a(z) Differenciálegyenlet-rendszerek lapot a következő névre: Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
| (4 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
==Homogén differenciálegyenlet-rendszerek== | ==Homogén differenciálegyenlet-rendszerek== | ||
| 49. sor: | 44. sor: | ||
<math> x_2' = 2x_1 + x_2 </math> | <math> x_2' = 2x_1 + x_2 </math> | ||
<math> \Updownarrow </math> | <math> \Updownarrow </math> | ||
<math> \underline{\underline{A}} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & | |||
<math> \underline{\underline{A}} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] </math> | |||
Sajátértékek kiszámítása: | Sajátértékek kiszámítása: | ||
<math> \det(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}}) = 0 </math> | <math> \det(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}}) = 0 </math> | ||
<math> \Downarrow </math> | <math> \Downarrow </math> | ||
<math> \left| \begin{array}{rr} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right| = \left( 1-\lambda \right)^2 -2^2 = 0 </math> | <math> \left| \begin{array}{rr} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right| = \left( 1-\lambda \right)^2 -2^2 = 0 </math> | ||
<math> \Downarrow </math> | <math> \Downarrow </math> | ||
<math> \ | |||
<math> \lambda_1 = 3 \;\;\;\;\; \lambda_2=-1 </math> | |||
A <math> \lambda_1 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása: | A <math> \lambda_1 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása: | ||
<math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_1 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_1 = 0 </math> | <math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_1 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_1 = 0 </math> | ||
<math> \left[ \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{11} \\ s_{12} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math> | <math> \left[ \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{11} \\ s_{12} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math> | ||
<math>-2s_{11} + 2 s_{12} =0</math> | |||
<math>2s_{11} - 2 s_{12} =0</math> | |||
<math> \Updownarrow </math> | <math> \Updownarrow </math> | ||
<math> s_{11} = s_{12} \Rightarrow \underline{s}_1 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right] </math> | <math> s_{11} = s_{12} \Rightarrow \; Legyen: \; \underline{s}_1 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right] </math> | ||
A <math> \lambda_2 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása: | A <math> \lambda_2 </math>-hez tartozó sajátvektor kiszámítása: | ||
<math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_2 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_2 = 0 </math> | <math> \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_2 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_2 = 0 </math> | ||
<math> \left[ \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{21} \\ s_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math> | <math> \left[ \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{21} \\ s_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] </math> | ||
<math>2s_{21} + 2 s_{22} =0</math> | |||
<math>2s_{21} + 2 s_{22} =0</math> | |||
<math> \Updownarrow </math> | <math> \Updownarrow </math> | ||
<math> s_{21} = -s_{22} \Rightarrow \underline{s}_2 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right] </math> | <math> s_{21} = -s_{22} \Rightarrow \; Legyen: \; \underline{s}_2 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right] </math> | ||
Tehát az alaprendszer mátrixa: | Tehát az alaprendszer mátrixa: | ||
<math> \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} e^{3t} & e^{-t} \\ e^{3t} & -e^{-t} \end{array} \right] </math> | <math> \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} e^{3t} & e^{-t} \\ e^{3t} & -e^{-t} \end{array} \right] </math> | ||
Tehát a homogén, általános megoldás: | Tehát a homogén, általános megoldás: | ||
<math> \underline{x}_{ha} = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} </math> | <math> \underline{x}_{ha}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} </math> | ||
<math> \Downarrow </math> | <math> \Downarrow </math> | ||
<math> x_{ha1} = k_1 e^{3t} + k_2 e^{-t} </math> | <math> x_{ha1}(t) = k_1 e^{3t} + k_2 e^{-t} </math> | ||
<math> x_{ha2}(t) = k_1 e^{3t} - k_2 e^{-t} </math> | |||
Kezdeti feltételek érvényesítése: | Kezdeti feltételek érvényesítése: | ||
| 105. sor: | 126. sor: | ||
<math> x_2(0) = -1 \Rightarrow k_1 - k_2 = -1 </math> | <math> x_2(0) = -1 \Rightarrow k_1 - k_2 = -1 </math> | ||
<math> \Downarrow </math> | <math> \Downarrow </math> | ||
<math> k_1 = 0 \Rightarrow k_2 = 1 </math> | <math> k_1 = 0 \Rightarrow k_2 = 1 </math> | ||
<math> \Downarrow </math> | <math> \Downarrow </math> | ||
<math> x_{ha2} = - e^{-t} </math> | <math> x_{ha1}(t) = e^{-t} </math> | ||
<math> x_{ha2}(t) = - e^{-t} </math> | |||
===Megoldás Laplace-transzformációval=== | ===Megoldás Laplace-transzformációval=== | ||
| 202. sor: | 227. sor: | ||
====A megoldás általános alakja==== | ====A megoldás általános alakja==== | ||
Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is | Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is az inhomogén általános megoldást a homogén általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja. | ||
<math> \underline{x}_{ia}(t) = \underline{x}_{ha}(t) + \underline{x}_{ip}(t) </math> | <math> \underline{x}_{ia}(t) = \underline{x}_{ha}(t) + \underline{x}_{ip}(t) </math> | ||
| 225. sor: | 250. sor: | ||
<math> \underline{x}_{ip}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt </math> | <math> \underline{x}_{ip}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt </math> | ||
[[ | [[Kategória:Villamosmérnök]] | ||