„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
David14 (vitalap | szerkesztései)
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(2 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
{{noautonum}}
__NOTOC__
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}


{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
===1. Feladat===


===1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.===
Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.


{{Rejtett
{{Rejtett
23. sor: 24. sor:
}}
}}


===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!===
===2. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi határértékeket!


<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
48. sor: 51. sor:
}}
}}


===3. Melyik igaz, melyik nem:===
===3. Feladat===
 
Melyik igaz, melyik nem:


a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
70. sor: 75. sor:
}}
}}


===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!===
===4. Feladat===
 
Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!


{{Rejtett
{{Rejtett
112. sor: 119. sor:
}}
}}


===5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!===
===5. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi integrál értékét!


<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
141. sor: 150. sor:
}}
}}


===6. Határozza meg az alábbi határértéket!===
===6. Feladat===


<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>
Határozza meg az alábbi határértéket!
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>


{{Rejtett
{{Rejtett
151. sor: 162. sor:
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:


<math>\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
<math>\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=</math>
 
<math>=x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)</math>
<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x=
x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math>


Most ezt visszahelyettesítjük:
Most ezt visszahelyettesítjük:


<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math>
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math>
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>


Mert, <math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>.


A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:


<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>


Így a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.


-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>


}}
}}


[[Category:Villanyalap]]
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:49-kori változata


1. Feladat

Adja meg az összes olyan z komplex számot, melyre z4=2j8+6j3+4j.

Megoldás

Végezzük el először a 2j-vel való beszorzást.

z4=16j123+4j=4*(3+4j)3+4j=4

Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge π és nagysága 4, így:

z4=4=4+0*j=4*(cosπ+j*sinπ) Mert

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

z=2*(cosπ+2kπ4+j*sinπ+2kπ4) ahol k=0,1,2,3

2. Feladat

Határozza meg az alábbi határértékeket!

a,limx3n+2+n33nn=?

b,limx(31n)n3n=?

Megoldás

a, Feladat:

limx3n+2+n33nn=limx32+n3/3n1n/3n=9+010=9

b, Feladat:

limx(31n)n3n=limx(31n3)n=limx(113n)n=e13

3. Feladat

Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha f folytonos [a,b]-n, akkor f korlátos [a,b]-n

b, Ha f folytonos (a,b)-n, akkor f korlátos (a,b)-n

c, Ha f folytonos (a,b)-n, akkor véges sok pont kivételével f deriválható (a,b)-n

d, Ha f értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható (a,b)-n akkor folytonos itt

e, Ha f deriválható (a,b)-n, akkor f folytonos (a,b)-n

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

4. Feladat

Hány megoldása van az x1313x9=0 egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Megoldás

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az f(x)=x1313x9 függvénynek?

Deriváljuk a függvényt először:

f(x)=13x1213

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

13x1213=0, ebből x=1 vagy x=1

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:

ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

f(x)=156x11 , ebből f(1)=156 és f(1)=156.

Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz, hogy a függvény a (,1) intervallumon szigorúan monoton nő, a (1,1) intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a (1,) intervallumon szigorúan monoton nő.

Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

f(1)=3 és f(1)=21 -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: f(0)=9, tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

5. Feladat

Határozza meg az alábbi integrál értékét!

1eln2xdx=?

Megoldás

A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

v(x)=1&u(x)=ln2x

v(x)=x&u(x)=2lnxx

1e1*ln2xdx=[xln2x]1e1ex*2lnxxdx=[xln2x]1e21elnxdx=

1elnxdx-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

[xln2x]1e2([xlnx]1e1ex*1xdx)=

[xln2x]1e2([xlnx]1e[x]1e)=

[x(ln2x2lnx+2)]1e=

e(12+2)1(00+2)=e2

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határértéket!

limx0xarctan(t)dtx=?

Megoldás

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

0x1*arctan(t)dt=[t*arctan(t)]0x0xt*1t2+1dt=[t*arctan(t)]0x120x2tt2+1dt=

=[t*arctan(t)]0x12[ln(t2+1)]0x=x*arctanx012ln(x2+1)+0=x*arctanx12ln(x2+1)

Most ezt visszahelyettesítjük:

limxx*arctanx12ln(x2+1)x= limx(arctanxln(x2+1)2x)= π2limxln(x2+1)2x

limxarctanx=π2


A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

limxln(x2+1)2x= limx2xx2+12= limxxx2+1= limx12x=0


Tehát a feladat megoldása: π20=π2