VIK Wiki

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
Szikszayl (vitalap | szerkesztései)
4 274 szerkesztés
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
(3 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
{{noautonum}}
__NOTOC__
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}


{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
===1. Feladat===


===1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.===
Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.


{{Rejtett
{{Rejtett
23. sor: 24. sor:
}}
}}


===2. Határozza meg az alábbi határértékeket!===
===2. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi határértékeket!


<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
48. sor: 51. sor:
}}
}}


===3. Melyik igaz, melyik nem:===
===3. Feladat===
 
Melyik igaz, melyik nem:


a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
70. sor: 75. sor:
}}
}}


===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!===
===4. Feladat===
 
Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!


{{Rejtett
{{Rejtett
112. sor: 119. sor:
}}
}}


===5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!===
===5. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi integrál értékét!


<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
120. sor: 129. sor:
|szöveg=
|szöveg=


Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>.
A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.
 
<math>v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x</math>
 
<math>v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}</math>
 
<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x=
[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=</math>
 
<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;</math>-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:
 
<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=</math>


<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=[xln^2x]_1^e-\int_1^e x*\frac{2lnx}{x}\mathrm{d}x=
<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=</math>
[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>


<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>-et az előző módszerrel integráljuk:
<math>\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=</math>


<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=</math>
<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-[x]_1^e)=</math>
<math>[x(ln^2x-2lnx+2)]_1^e=</math>
<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>
<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>


}}
}}


===6. Határozza meg az alábbi határértéket!===
===6. Feladat===
 
Határozza meg az alábbi határértéket!


<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>


{{Rejtett
{{Rejtett
144. sor: 162. sor:
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:


<math>\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
<math>\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=</math>
 
<math>=x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)</math>
<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x=
x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math>


Most ezt visszahelyettesítjük:
Most ezt visszahelyettesítjük:


<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math>
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math>
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>


Mert, <math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>.


A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:


<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>


Így a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.


-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>


}}
}}


[[Category:Villanyalap]]
[[Kategória:Villamosmérnök]]
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.23”