„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés
aNincs szerkesztési összefoglaló |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
| (6 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
{{ | __NOTOC__ | ||
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}} | |||
===1. Feladat=== | |||
Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>. | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 13. sor: | 14. sor: | ||
<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math> | <math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math> | ||
Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4, így: | |||
<math>z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert | |||
Ebből kell most negyedik gyököt vonni: | Ebből kell most negyedik gyököt vonni: | ||
| 21. sor: | 24. sor: | ||
}} | }} | ||
===2. Határozza meg az alábbi határértékeket! | ===2. Feladat=== | ||
Határozza meg az alábbi határértékeket! | |||
<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math> | |||
<math>b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math> | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 31. sor: | 36. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
a, | '''a, Feladat:''' | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+ | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}= | ||
\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}= | |||
\frac{9+0}{1-0}=9</math> | |||
'''b, Feladat:''' | |||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}= | |||
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n= | |||
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n= | |||
e^{-\frac{1}{3}}</math> | |||
}} | }} | ||
===3. Melyik igaz, melyik nem: | ===3. Feladat=== | ||
Melyik igaz, melyik nem: | |||
a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n | a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n | ||
| 62. sor: | 75. sor: | ||
}} | }} | ||
===4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket! | ===4. Feladat=== | ||
Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket! | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 71. sor: | 86. sor: | ||
A feladat ekvivalens a következővel: | A feladat ekvivalens a következővel: | ||
Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> | Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> függvénynek? | ||
Deriváljuk a függvényt először: | Deriváljuk a függvényt először: | ||
| 81. sor: | 96. sor: | ||
<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math> | <math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math> | ||
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, | Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg: | ||
ha f | |||
ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van, | |||
ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van. | |||
<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math> | <math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>. | ||
Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van. | |||
Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki: | Így igaz, hogy a függvény a <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szigorúan monoton nő, a | ||
<math>(-1,1)</math> intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a <math>(1,\infty)</math> intervallumon szigorúan monoton nő. | |||
Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki: | |||
<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy. | <math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy. | ||
| 97. sor: | 117. sor: | ||
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív. | Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív. | ||
}} | |||
===5. Feladat=== | |||
Határozza meg az alábbi integrál értékét! | |||
<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
- | A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan. | ||
<math>v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x</math> | |||
== | <math>v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}</math> | ||
<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x= | <math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x= | ||
[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=</math> | |||
{ | <math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;</math>-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk: | ||
<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=</math> | |||
<math>\ | <math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=</math> | ||
<math>\ | <math>\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=</math> | ||
<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math> | <math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math> | ||
}} | }} | ||
===6. | ===6. Feladat=== | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math> | Határozza meg az alábbi határértéket! | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math> | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 143. sor: | 162. sor: | ||
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is: | Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is: | ||
<math>\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math> | <math>\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math> | ||
<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x= | |||
<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x= | |||
x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math> | |||
Most ezt visszahelyettesítjük: | Most ezt visszahelyettesítjük: | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math> | ||
<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math> | ||
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math> | <math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math> | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math> | |||
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk: | A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk: | ||
<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math> | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math> | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math> | ||
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math> | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math> | ||
- | Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math> | ||
}} | }} | ||
[[ | [[Kategória:Villamosmérnök]] | ||
A lap jelenlegi, 2014. március 13., 18:49-kori változata
1. Feladat
Adja meg az összes olyan Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z} komplex számot, melyre Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}} .
Végezzük el először a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2j} -vel való beszorzást.
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4}
Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \pi} és nagysága 4, így:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)} Mert
Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})} ahol Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k=0,1,2,3}2. Feladat
Határozza meg az alábbi határértékeket!
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?}
a, Feladat:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}= \lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}= \frac{9+0}{1-0}=9}
b, Feladat:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n= \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n= e^{-\frac{1}{3}}}3. Feladat
Melyik igaz, melyik nem:
a, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle [a,b]} -n, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} korlátos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle [a,b]} -n
b, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} korlátos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n
c, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n, akkor véges sok pont kivételével Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} deriválható Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n
d, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n akkor folytonos itt
e, Ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} deriválható Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n, akkor Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f} folytonos Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a,b)} -n
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)4. Feladat
Hány megoldása van az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x^{13}-13x-9=0} egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:
Hány zérushelye van az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x)=x^{13}-13x-9} függvénynek?
Deriváljuk a függvényt először:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f'(x)=13x^{12}-13}
Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 13x^{12}-13=0} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x=-1} vagy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x=1}
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:
ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(x)=156x^{11}} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(-1)=-156} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f''(1)=156} .
Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
Így igaz, hogy a függvény a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (\infty,-1)} intervallumon szigorúan monoton nő, a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (-1,1)} intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (1,\infty)} intervallumon szigorúan monoton nő.
Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(-1)=3} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(1)=-21} -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(0)=-9} , tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.5. Feladat
Határozza meg az alábbi integrál értékét!
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?}
A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x= [xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=}
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_1^e lnx\mathrm{d}x \;} -et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:
![{\displaystyle \left[xln^{2}x\right]_{1}^{e}-2\left(\left[xlnx\right]_{1}^{e}-\int _{1}^{e}x*{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ecc14ba042ebef249ad9a15a1a441a4d50fc9c)
![{\displaystyle \left[xln^{2}x\right]_{1}^{e}-2\left(\left[xlnx\right]_{1}^{e}-\left[x\right]_{1}^{e}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c11c5d4e6a9e30796a9686681cbd3957c51afb)
![{\displaystyle \left[x\left(ln^{2}x-2lnx+2\right)\right]_{1}^{e}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b2a1daad3ba02595e8d6e67134a3ad83a5dd6e)
6. Feladat
Határozza meg az alábbi határértéket!
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
![{\displaystyle \int _{0}^{x}1*\arctan {(t)}\mathrm {d} t=\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}t*{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}{\frac {2t}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec1b861896347ae2be26e56a12e389112af7df6)
![{\displaystyle =\left[t*\arctan {(t)}\right]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}\left[ln\left(t^{2}+1\right)\right]_{0}^{x}=x*\arctan {x}-0-{\frac {1}{2}}ln\left(x^{2}+1\right)+0=x*\arctan {x}-{\frac {1}{2}}ln\left(x^{2}+1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c3f74f557574aa0053bd5898ea68d31ceac3db)
Most ezt visszahelyettesítjük:
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
