„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:49-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Adja meg az összes olyan $z$ komplex számot, melyre $z^{4} = 2 j \frac{- 8 + 6 j}{3 + 4 j}$ .

Megoldás

Végezzük el először a $2 j$ -vel való beszorzást.

$z^{4} = \frac{- 16 j - 12}{3 + 4 j} = \frac{- 4 * (3 + 4 j)}{3 + 4 j} = - 4$

Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge $π$ és nagysága 4, így:

$z^{4} = - 4 = - 4 + 0 * j = 4 * (c o s π + j * s i n π)$ Mert

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

z = \sqrt{2} * (c o s \frac{π + 2 k π}{4} + j * s i n \frac{π + 2 k π}{4})

ahol

k = 0, 1, 2, 3

2. Feladat

Határozza meg az alábbi határértékeket!

$a, \lim_{x \to \infty} \frac{3^{n + 2} + n^{3}}{3^{n} - n} = ?$

$b, \lim_{x \to \infty} \frac{(3 - \frac{1}{n})^{n}}{3^{n}} = ?$

Megoldás

a, Feladat:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^{n + 2} + n^{3}}{3^{n} - n} = \lim_{x \to \infty} \frac{3^{2} + n^{3} / 3^{n}}{1 - n / 3^{n}} = \frac{9 + 0}{1 - 0} = 9$

b, Feladat:

\lim_{x \to \infty} \frac{(3 - \frac{1}{n})^{n}}{3^{n}} = \lim_{x \to \infty} {(\frac{3 - \frac{1}{n}}{3})}^{n} = \lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{\frac{1}{3}}{n})}^{n} = e^{- \frac{1}{3}}

3. Feladat

Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha $f$ folytonos $[a, b]$ -n, akkor $f$ korlátos $[a, b]$ -n

b, Ha $f$ folytonos $(a, b)$ -n, akkor $f$ korlátos $(a, b)$ -n

c, Ha $f$ folytonos $(a, b)$ -n, akkor véges sok pont kivételével $f$ deriválható $(a, b)$ -n

d, Ha $f$ értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható $(a, b)$ -n akkor folytonos itt

e, Ha $f$ deriválható $(a, b)$ -n, akkor $f$ folytonos $(a, b)$ -n

Megoldás

4. Feladat

Hány megoldása van az $x^{13} - 13 x - 9 = 0$ egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Megoldás

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az $f (x) = x^{13} - 13 x - 9$ függvénynek?

Deriváljuk a függvényt először:

$f^{'} (x) = 13 x^{12} - 13$

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

$13 x^{12} - 13 = 0$ , ebből $x = - 1$ vagy $x = 1$

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:

ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

$f^{″} (x) = 156 x^{11}$ , ebből $f^{″} (- 1) = - 156$ és $f^{″} (1) = 156$ .

Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz, hogy a függvény a $(\infty, - 1)$ intervallumon szigorúan monoton nő, a $(- 1, 1)$ intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a $(1, \infty)$ intervallumon szigorúan monoton nő.

Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

$f (- 1) = 3$ és $f (1) = - 21$ -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: $f (0) = - 9$ , tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

5. Feladat

Határozza meg az alábbi integrál értékét!

$\int_{1}^{e} l n^{2} x d x = ?$

Megoldás

A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

$v^{'} (x) = 1 & u (x) = l n^{2} x$

$v (x) = x & u^{'} (x) = 2 \frac{l n x}{x}$

$\int_{1}^{e} 1 * l n^{2} x d x = {[x l n^{2} x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x * 2 \frac{l n x}{x} d x = [x l n^{2} x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} l n x d x =$

$\int_{1}^{e} l n x d x$ -et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

${[x l n^{2} x]}_{1}^{e} - 2 ({[x l n x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x * \frac{1}{x} d x) =$

${[x l n^{2} x]}_{1}^{e} - 2 ({[x l n x]}_{1}^{e} - {[x]}_{1}^{e}) =$

${[x (l n^{2} x - 2 l n x + 2)]}_{1}^{e} =$

e (1 - 2 + 2) - 1 (0 - 0 + 2) = e - 2

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határértéket!

$\lim_{x \to \infty} \frac{\int_{0}^{x} \arctan (t) d t}{x} = ?$

Megoldás

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

$\int_{0}^{x} 1 * \arctan (t) d t = {[t * \arctan (t)]}_{0}^{x} - \int_{0}^{x} t * \frac{1}{t^{2} + 1} d t = {[t * \arctan (t)]}_{0}^{x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{x} \frac{2 t}{t^{2} + 1} d t =$

$= {[t * \arctan (t)]}_{0}^{x} - \frac{1}{2} {[l n (t^{2} + 1)]}_{0}^{x} = x * \arctan x - 0 - \frac{1}{2} l n (x^{2} + 1) + 0 = x * \arctan x - \frac{1}{2} l n (x^{2} + 1)$

Most ezt visszahelyettesítjük:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x * \arctan x - \frac{1}{2} l n (x^{2} + 1)}{x} =$ $\lim_{x \to \infty} (\arctan x - \frac{l n (x^{2} + 1)}{2 x}) =$ $\frac{π}{2} - \lim_{x \to \infty} \frac{l n (x^{2} + 1)}{2 x}$

$\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{π}{2}$

A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

$\lim_{x \to \infty} \frac{l n (x^{2} + 1)}{2 x} =$ $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{2} =$ $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2} + 1} =$ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} = 0$

Tehát a feladat megoldása:

\frac{π}{2} - 0 = \frac{π}{2}

Bejelentkezés

Keresés

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

Névterek

Több

Lapműveletek

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:49-kori változata

1. Feladat

2. Feladat

3. Feladat

4. Feladat

5. Feladat

6. Feladat

Navigáció

Navigáció

Egyetem

Wikieszközök

Wikieszközök

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaNegy}}
+__NOTOC__
+{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
+===1. Feladat===
+Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
-=====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====
+Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.
+<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>
-=====2.=====
+Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4, így:
-(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
+<math>z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert
-(b) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>
+Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
+<math>z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})</math> ahol <math>k=0,1,2,3</math>
-=====3. Melyik igaz, melyik nem:=====
+}}
-a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
+===2. Feladat===
-b, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>(a,b)</math>-n
+Határozza meg az alábbi határértékeket!
-c, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor véges sok pont kivételével <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n
+<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
-d, Ha <math>f</math> értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható <math>(a,b)</math>-n akkor folytonos itt
+<math>b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>
-e, Ha <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
+'''a, Feladat:'''
+<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=
+\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}=
+\frac{9+0}{1-0}=9</math>
-=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====
+'''b, Feladat:'''
-=====5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>=====
+<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=
+\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n=
+\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n=
+e^{-\frac{1}{3}}</math>
+}}
-=====6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>=====
+===3. Feladat===
+Melyik igaz, melyik nem:
-===Megoldások:===
+a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
-=====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====
+b, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>(a,b)</math>-n
-Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.
+c, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor véges sok pont kivételével <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n
-<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>
+d, Ha <math>f</math> értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható <math>(a,b)</math>-n akkor folytonos itt
-Tehát <math>z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4.
+e, Ha <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n
-Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
-<math>z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})</math> ahol <math>k=0,1,2,3</math>
+Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
-=====2.=====
-(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+\frac{n^3}{3^n}}{1-\frac{n}{3^n}}=\frac{9+0}{1-0}=9</math>
-(b) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=\lim_{x\to\infty}(\frac{3-\frac{1}{n}}{3})^n=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{\frac{1}{3}}{n})^n=e^{-\frac{1}{3}}</math>
+Ha tudod, írd le ide ;)
+}}
+===4. Feladat===
+Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
-=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
 Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat.
 A feladat ekvivalens a következővel:
-Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> egyenletnek?
+Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> függvénynek?
 Deriváljuk a függvényt először:
@@ 81. sor: / 96. sor: @@
 <math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>
-Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f''(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
+Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:
-ha f''(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
+ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
+ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
+<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>.
-<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>, tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
+Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
-Így igaz a következő <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szig. mon. nő,
+Így igaz, hogy a függvény a <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szigorúan monoton nő, a
-<math>(-1,1)</math>-on szig.mon. csökken, <math>(1,\infty)</math>-on szig. mon. nő.
+<math>(-1,1)</math> intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a <math>(1,\infty)</math> intervallumon szigorúan monoton nő.
-Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
+Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
 <math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
@@ 97. sor: / 117. sor: @@
 Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
-A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.
+}}
--- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
-Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.
+===5. Feladat===
--- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.05.27.
+Határozza meg az alábbi integrál értékét!
-Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök  és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.
+<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
--- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
+A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.
+<math>v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x</math>
+<math>v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}</math>
+<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x=
+[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=</math>
-=====5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>=====
+<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;</math>-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:
-Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>.
+<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=</math>
-<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=[xln^2x]_1^e-\int_1^e x*\frac{2lnx}{x}\mathrm{d}x=
+<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=</math>
-[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>
-<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>-et az előző módszerrel integráljuk:
+<math>\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=</math>
-<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=</math>
-<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-[x]_1^e)=</math>
-<math>[x(ln^2x-2lnx+2)]_1^e=</math>
 <math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>
+}}
+===6. Feladat===
+Határozza meg az alábbi határértéket!
+<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>
-=====6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>=====
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás'''
+|szöveg=
 Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
-<math>\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
+<math>\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
-<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=</math>
-<math>=x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)</math>
+<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x=
+x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math>
 Most ezt visszahelyettesítjük:
-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math>
+<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math>
-<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math>
+<math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math>
-<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math>
+<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math>
+<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>
-Mert, <math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>.
 A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
-<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
+<math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
 <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>
 <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
 <math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>
-Így a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
-A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.
--- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
+Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
+}}
-[[Category:Villanyalap]]
+[[Kategória:Villamosmérnök]]

Bejelentkezés

Keresés

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 19:49-kori változata

1. Feladat

2. Feladat

3. Feladat

4. Feladat

5. Feladat

6. Feladat

Navigáció

Wikieszközök

Eszközök

Kategóriák