„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

'''Nevezetes fuggvenyek T-sorai:'''

x^m / (1 - x) = sumⁿ_k=m( x^k ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1

e^x = sumⁿ_k=0( x^k / k! ) --> KT: x eleme R-nek

ln(1 + x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (k + 1)! ) * x^{k + 1} ) --> KT: |x| < 1

(1 + x)^a = sumⁿ_k=0( (a choose k) * x^k ) --> |x| < 1, a eleme C-nek

sin(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek

cos(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek

sinh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek

cosh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek

'''Lagrange-hiba becsles:'''

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.

xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)

Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) * (x - x0)^{n + 1}

'''Pelda (keresztrol):'''

y' = sin( y ) + 2 + x

y( x = pi ) = 1

y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)

felso becsles a hibara?

y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!

y⁽²⁾( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1

T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)

y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!

letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.

hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f⁽²⁾(xi) / 2! ) * (3 - pi)² ~= 0.1 // meg ezt is!

tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1