„Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.” változatai közötti eltérés
| 84. sor: | 84. sor: | ||
}} | }} | ||
===6. Feladat=== | ===6. Feladat (Van megoldás)=== | ||
Adott egy <math> n </math> hosszú tömb. Tudjuk, hogy a tömb első néhány (<math> k </math> darab) elem 0, a többi 1, de <math> k </math> értékét nem ismerjük. Adjon <math> O(logk) </math> (nem <math> O(logn) </math> )<sup>1</sup> összehasonlítást használó algoritmust, ami meghatározza <math> k </math> értékét. | |||
''<sup>1</sup> A feladatban <math> O(logk) </math> szerepel, de az csak elgépelés.'' | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | |mutatott=<big>'''Megoldás'''</big> | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
*Először nézzük meg, hogy az első 2 elem <math>0-1</math>-e, ha igen, akkor <math> k=1 </math>. | |||
*Ha nem, akkor minden további lépésnél ugorjunk a 2x annyiadik cellába (ez legyen <math> m </math>), ha pedig túl lépnénk a tömböt ezzel, akkor az utolsóba. | |||
*Vizsgáljuk meg, hogy "hol vagyunk": ''(az aktuális cellát, és a 2 szomszédját)'' | |||
**Ha <math>0-0-0</math>-t látunk, akkor ugrunk megint 2x akkorát ''(ugyanazzal a kritériummal, mint előbb)''. | |||
**Ha <math>0-0-1</math>-t látunk, akkor <math> k=m </math>. | |||
**Ha <math>0-1-1</math>-t látunk, akkor <math> k=m-1 </math>. | |||
**Ha <math>1-1-1</math>-t látunk, akkor egy bináris keresés segítségével<sup><big>(1)</big></sup> a 2 legutóbbi vizsgált elem közötti cellákban megkeressük a <math>0-1-1</math>, vagy <math>0-0-1</math> felállást, és a <math>k</math> értékét a látottak alapján beállítjuk <math>( k=m-1 </math> vagy <math> k=m )</math>. | |||
<sup><big>(1)</big></sup> '' Ha <math>0-0-0</math>-t lát, jobbra lép, ha <math>1-1-1</math>-t, akkor balra, másik 2 esetben pedig találatunk van.'' | |||
:::::::::::[[File:algel_pzh_2013tavasz_6_1.PNG|400px]] | |||
*Az algoritmus működése alapján belátható, hogy <math> O(logk) </math> időben fut. | |||
}} | }} | ||
A lap 2013. június 15., 22:32-kori változata
2013.04.24. PZH megoldásai
1. Feladat (Van megoldás)
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)} és tudjuk azt is, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(1)=T(2)=T(3)=1} . Bizonyítsa be, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n)=O(n^2)} .
Van olyan Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c > 0} és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n_0} , hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n>n_0} esetén Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n)=T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots } Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16} \right )^i\right)}
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} }
, ahol Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}}
, vagyis Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}}
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} < 2 ,} ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n \geq 1} (A lényeg, hogy felülről becsüljük!)
Tehát Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)}2. Feladat (Van megoldás)
Adott egy teljes bináris fa, a csúcsaiba egész számok vannak írva, összesen n darab (a fa nem feltétlenül bináris keresőfa). Adjon algoritmust, ami Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(n)} lépésben megkeres egy olyan csúcsot a fában, aminek a részfája kupac, és aminek a magassága a legető legnagyobb az összes ilyen csúcs közül.
- Bár nem tartozik a feladathoz, talán érdemes megjegyezzem, hogy bináris kereső fa nem is lehetne, hiszen akkor ott kapásból csak a legalsó szinten lévő elemek lehetnek kupacok (egy 1 elemet tartalmazó kupac), hiszen bináris keresőfánál balra kisebbek, jobbra nagyobbak vannak, míg kupacnál balra és jobbra is nagyobbak vannak.
- Továbbá a teljes bináris fára azért van szükség, mert így "jóval egyszerűbb" a feladat, és nem kell szívózni annak vizsgálatával, hogy az adott részfa teljes bináris fa-e (ugyebár ez a kupac egyik fontos tulajdonsága).
Minden csúcsban 3 adatot fogunk számon tartani: Érték (ez persze adott már), részfa magassága (jelüljük M-mel), és egy bool érték (IGAZ/HAMIS, jelöljük B-vel), hogy igaz-e a részfájára, hogy az kupac.
- Első lépésben a legalsó szinteken lévő csúcsok esetén Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle M:=1, B:=IGAZ} .
- Legyen egy változónk, amiben tároljuk, hogy melyik csúcsra igaz, hogy az részfája a "legnagyobb" kupac (kezdeti értéke legyen mondjuk az egyik legalsó szinten lévő csúcs).
- Minden további szinten az a feladatunk, hogy megnézzük az adott csúcs (x) bal, és jobb fiát Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (JOBB(x), BAL(x))}
.
- Megnézzük, hogy nagyobbak-e, mint x, majd megnézzük, hogy kupac tulajdonsággal bírnak-e:
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle BAL(x),JOBB(x) > x;BAL(x).B=JOBB(x).B=IGAZ\Rightarrow\Rightarrow x.M := BAL(x).M+1, x.B := IGAZ} majd a változónkba belerakjuk a csúcsot. Vagyis ha mindkettő nagyobb, és mindkettő kupac tulajdonsággal bír, akkor a csúcs részfa magassága 1-gyel nagyobb lesz, mint az egyik (bal, vagy jobb) fia magassága, és kupac tulajdonságú lesz.
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle BAL(x) < x} VAGY Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle JOBB(x) < x} VAGY Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle BAL(x).B=HAMIS} VAGY Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle JOBB(x).B=HAMIS\Rightarrow\Rightarrow x.M := BAL(x).M+1, x.B := HAMIS} . Vagyis ha bármelyik feltétel nem teljesül (valamelyik fia kisebb, avagy valamelyik gyerekére nem igaz, hogy kupac tulajdonságú), akkor maga a csúcs sem lehet már kupac tulajdonságú (itt a magasságot nem is kéne beállítani, de...hát miért is ne).
- Megnézzük, hogy nagyobbak-e, mint x, majd megnézzük, hogy kupac tulajdonsággal bírnak-e:
3. Feladat (Van megoldás)
Kukori és Kotkoda egy-egy bináris fára gondolnak (nem feltétlenül bináris keresőfákra). Következik-e, hogy a két fa azonos, ha
(a) inorder bejárással kilolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?
(b) preorder bejárással kiolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?
Mindkét esetben 1-1 ellenpéldát kell szolgáltatni:
- a)
Mindkét gráfot A-B-C-D-E sorrendben olvassuk ki, de mégsem egyeznek meg, tehát nem következik.
- b)
4. Feladat
TODO
5. Feladat
TODO
6. Feladat (Van megoldás)
Adott egy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n } hosszú tömb. Tudjuk, hogy a tömb első néhány (Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k } darab) elem 0, a többi 1, de Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k } értékét nem ismerjük. Adjon Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(logk) } (nem Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(logn) } )1 összehasonlítást használó algoritmust, ami meghatározza Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k } értékét.
1 A feladatban Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(logk) } szerepel, de az csak elgépelés.
- Először nézzük meg, hogy az első 2 elem Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-1} -e, ha igen, akkor Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k=1 } .
- Ha nem, akkor minden további lépésnél ugorjunk a 2x annyiadik cellába (ez legyen Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle m } ), ha pedig túl lépnénk a tömböt ezzel, akkor az utolsóba.
- Vizsgáljuk meg, hogy "hol vagyunk": (az aktuális cellát, és a 2 szomszédját)
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-0-0} -t látunk, akkor ugrunk megint 2x akkorát (ugyanazzal a kritériummal, mint előbb).
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-0-1} -t látunk, akkor Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k=m } .
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-1-1} -t látunk, akkor Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k=m-1 } .
- Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1-1-1} -t látunk, akkor egy bináris keresés segítségével(1) a 2 legutóbbi vizsgált elem közötti cellákban megkeressük a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-1-1} , vagy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-0-1} felállást, és a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k} értékét a látottak alapján beállítjuk Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ( k=m-1 } vagy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k=m )} .
(1) Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 0-0-0} -t lát, jobbra lép, ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1-1-1} -t, akkor balra, másik 2 esetben pedig találatunk van.
- Az algoritmus működése alapján belátható, hogy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle O(logk) } időben fut.
7. Feladat
TODO
8. Feladat (Van megoldás)
Bizonyítsa be, hogy egy piros-fekete fában egy levél testvére vagy levél, vagy piros csúcs!
- Összesen 5 felállás lehet: Fájl:Algel pzh 2012tavasz 8 1.png
- Ebből az 1. és a 4. jó is (a 4. persze csak akkor, ha X az nem a főgyökér).
- A 3. - kis módosítással - látszik, hogy szintén fenn állhat gond nélkül: Fájl:Algel pzh 2012tavasz 8 2.png
- Egyedül a 2. és az 5. problémás. Ezek viszont rosszak is, hiszen mindkét esetben elmondható, hogy X-nek a fekete magassága jobbra 1, balra viszont legalább 2, mert az Y csúcsnak legalább 1-1 levél fia van. Tehát belső csúcsnál ilyen állapot nem állhat fent.
- Az első 2 esetben azt bizonyítottuk, hogy levél testvére lehet levél, vagy piros csúcs.
- A 3. esetben pedig azt, hogy nem lehet fekete csúcs a levél testvére.
- Így be is bizonyítottuk, hogy levél testvére CSAK levél, vagy piros csúcs lehet.
