Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.

2013.04.24. PZH megoldásai

1. Feladat (Van megoldás)

Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy $T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+O(n^{2})$ és tudjuk azt is, hogy $T(1)=T(2)=T(3)=1$. Bizonyítsa be, hogy $T(n)=O(n^{2})$.

Megoldás

$T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+O(n^{2})=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{16}}\right\rfloor \right)+O\left({\frac {n^{2}}{4}}\right)+O(n^{2})=...=1+O(n^{2})*\left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor }\left({\frac {1}{4}}\right)^{i}\right)$
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
$\sum _{i=0}^{k}r^{i}={\frac {1-r^{k+1}}{1-r}}$ ahol $k=\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor ,r=0.25$, vagyis ${\frac {1-0.25^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor +1}}{1-0.25}}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {1-0.25^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor +1}}{1-0.25}}={\frac {1}{0.75}}$

Tehát $T(n)=...=1+{\frac {1}{0.75}}O(n^{2})=O(n^{2})$

2. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

3. Feladat (Van megoldás)

Kukori és Kotkoda egy-egy bináris fára gondolnak (nem feltétlenül bináris keresőfákra). Következik-e, hogy a két fa azonos, ha

(a) inorder bejárással kilolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?

(b) preorder bejárással kiolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?

Megoldás

Mindkét esetben 1-1 ellenpéldát kell szolgáltatni:

• a)

Mindkét gráfot A-B-C-D-E sorrendben olvassuk ki, de mégsem egyeznek meg, tehát nem következik.

• b)

Mindkét gráfot F-G-H-J-K sorrendben olvassuk ki, de mégsem egyeznek meg, tehát nem következik.

4. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

5. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

6. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

7. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

8. Feladat

TODO

Megoldás

TODO