Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23

Feladatok:

2. Határozza meg az alábbi határértékeket!

(a) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?$

(b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(3-\frac{1}{n}{)}^n}{3^n}=?$

3. Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha $f$ folytonos $[a,b]$-n, akkor $f$ korlátos $[a,b]$-n

b, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor $f$ korlátos $(a,b)$-n

c, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor véges sok pont kivételével $f$ deriválható $(a,b)$-n

d, Ha $f$ értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható $(a,b)$-n akkor folytonos itt

e, Ha $f$ deriválható $(a,b)$-n, akkor $f$ folytonos $(a,b)$-n

5. Határozza meg az alábbi integrál értékét!

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}l{n}^{2}x\mathrm{d}x=?$

6. Határozza meg az alábbi határértéket!

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}\arctan t\mathrm{d}t}{x}=?$

Megoldások:

1. Adja meg az összes olyan $z$ komplex számot, melyre $z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}$.

Végezzük el először a $2j$-vel való beszorzást.

$z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4$

Tehát $z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi +j*sin\pi )$ Mert a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge $\pi$ és nagysága 4.

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

$z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi +2k\pi }{4}+j*sin\frac{\pi +2k\pi }{4})$ ahol $k=0,1,2,3$

2.

(a) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^2+\frac{n^3}{3^n}}{1-\frac{n}{3^n}}=\frac{9+0}{1-0}=9$

(b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(3-\frac{1}{n}{)}^n}{3^n}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}{)}^n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}{)}^n=e^{-\frac{1}{3}}$

4. Hány megoldása van az $x^{13}-13x-9=0$ egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az $f(x)=x^{13}-13x-9$ egyenletnek?

Deriváljuk a függvényt először:

$f^{\prime }(x)=13x^{12}-13$

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

$13x^{12}-13=0$, ebből $x=-1$ vagy $x=1$

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van, ha f(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

$f^{″}(x)=156x^{11}$ , ebből $f^{″}(-1)=-156$ és $f^{″}(1)=156$, tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz a következő $(\mathrm{\infty },-1)$ intervallumon szig. mon. nő, $(-1,1)$-on szig.mon. csökken, $(1,\mathrm{\infty })$-on szig. mon. nő.

Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

$f(-1)=3$ és $f(1)=-21$ -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: $f(0)=-9$, tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.

-- r.crusoe - 2008.01.14.

Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.

-- Gyurci - 2008.05.27.

Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.

-- Gyurci - 2008.01.14.

5. $\underset{1}{\overset{e}{\int }}l{n}^{2}x\mathrm{d}x=?$

Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz $v^{\prime }(x)$, és $u(x)=l{n}^{2}x$.

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}1*l{n}^{2}x\mathrm{d}x=[xl{n}^{2}x{]}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}x*\frac{2lnx}{x}\mathrm{d}x=[xl{n}^{2}x{]}_1^e-2\underset{1}{\overset{e}{\int }}lnx\mathrm{d}x$

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}lnx\mathrm{d}x$-et az előző módszerrel integráljuk:

$[xl{n}^{2}x{]}_1^e-2([xlnx{]}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=$ $[xl{n}^{2}x{]}_1^e-2([xlnx{]}_1^e-[x{]}_1^e)=$ $[x(l{n}^{2}x-2lnx+2){]}_1^e=$ $e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2$

6. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}\arctan t\mathrm{d}t}{x}=?$

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}1*\arctan t\mathrm{d}t=[t*\arctan t{]}_0^x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan t{]}_0^x-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=$ $=[t*\arctan t{]}_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1){]}_0^x=$ $=x*\arctan x-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan x-\frac{1}{2}ln(x^2+1)$

Most ezt visszahelyettesítjük:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x*\arctan x-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\arctan x-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=$ $\frac{\pi }{2}-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{ln(x^2+1)}{2x}$

Mert, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$.

A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{x^2+1}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2x}=0$

Így a feladat megoldása: $\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$

A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.

-- r.crusoe - 2008.01.14.