Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH forrásának megtekintése

{{Vissza|Matematika A4 - Valószínűségszámítás}}

<div class="noautonum">__TOC__</div>

==1. Feladat: ==

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= 

<math> X: </math> élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

<math> f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 </math>

<math> F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 </math>

<math> P(x\geq2)=0.2 </math>

<math> e^{-\lambda 2}=0.2 </math>

<math> -\lambda 2=ln 0.2 </math>

:::<math> \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 </math>

:::<math> m=\frac{1}{\lambda} </math>

<math> 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} </math>

<math> e^{-0.8x}= \frac{1}{2} </math>

<math> -0.8x=ln\frac{1}{2} </math>

:::<math> x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 </math>

}}

==2. Feladat: ==

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= 

<math> \varphi\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] </math>

:::<math> X=\sin\varphi </math>

<math> F(x)=p(X<x) </math>

:::<math> P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} </math>

:::<math> f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} </math>

}}

==3. Feladat: ==

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= 

'''a, Kérdés:'''

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

<math> X: RND1^2 </math> 

<math> Y: RND2^3 </math>  

:::<math> f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0<x<1 </math>

:::<math> f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<y<1 </math>

:::<math> f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1 </math>

::: <math> P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x </math>


'''a, Kérdés egyszerűbben'''


:::<math> P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= </math>

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

:::<math> y^{\frac{3}{2}} =x </math>

vagyis a

:::<math> y=x^{\frac{2}{3}} </math>

görbe alatti terület számítására.

:::<math> =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^1=\frac{3}{5} </math>


'''b, Kérdés:'''


<math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math> 

<math> Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1) </math>  

:::<math> Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1) </math>

:::<math> P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)= </math>

:::<math> =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= </math>

:::<math> =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x </math>

}}

[[Kategória:Villamosmérnök]]